在劳动仲裁中，当事人确实有权申请仲裁员回避，这是为了确保仲裁过程的公正性和中立性。以下是对这一问题的详细解析：
一、申请仲裁员回避的情形
根据《中华人民共和国仲裁法》及《劳动人事争议仲裁办案规则》的相关规定，仲裁员在存在以下情形时，必须回避，当事人也有权提出回避申请：
身份关系冲突：仲裁员是本案当事人，或者与当事人、代理人有近亲属关系（如配偶、父母、子女等）。这种关系可能导致仲裁员在裁决时无法保持客观公正。
利害关系冲突：仲裁员与本案存在直接的利害关系，可能影响其公正裁决。例如，仲裁员在某公司有投资，而该公司恰好是劳动仲裁案件中的用人单位，这种情况下仲裁员就应当回避。
其他影响公正的关系：仲裁员与本案当事人、代理人之间存在其他可能影响公正仲裁的关系，如朋友关系、师生关系、业务往来关系等。如果这种关系可能导致仲裁员在裁决时不能客观公正地处理案件，就应当回避。
不当接触：仲裁员私自会见当事人、代理人，或者接受其请客送礼，严重违反职业道德和仲裁规则，这种行为也是回避的情形之一。
二、申请仲裁员回避的程序
当事人申请仲裁员回避需遵循以下程序：
提交书面申请：当事人应以书面形式提出回避申请，明确申请回避的对象，并详细说明申请回避的具体事实和理由，同时提供相关证明材料以支持其申请。
申请时间限制：原则上，当事人应在首次开庭前提出回避申请。若回避事由在首次开庭后才得知，则可以在最后一次开庭终结前提出。
处理流程：仲裁委员会将及时对当事人的回避申请进行审查，并在规定期限内作出是否批准回避的决定。若决定回避，将另行指定仲裁员继续审理案件；若决定不回避，当事人有权对该决定申请复议，但复议期间仲裁程序将继续进行。
三、申请仲裁员回避的注意事项
暂停参与：被申请回避的仲裁员，在仲裁委员会作出是否回避的决定前，应暂停参与本案的仲裁工作，以确保仲裁程序的公正性不受影响（紧急措施除外）。
充分举证：当事人申请回避时，应提供充分的证据证明仲裁员存在应当回避的情形，以增加申请获得支持的可能性。
尊重决定：当事人应尊重仲裁委员会作出的回避决定，并积极配合新的仲裁员进行案件审理。
四、实际案例说明
假设在一个劳动仲裁案件中，仲裁员恰好是用人单位的股东，同时又是该单位与员工劳动纠纷的仲裁员。这种情况下，仲裁员与用人单位存在直接的利害关系，可能影响其公正裁决。因此，员工有权以书面形式向仲裁委员会提出回避申请，并提供相关证明材料。仲裁委员会将及时对回避申请进行审查，并作出是否批准回避的决定。
总结来说，申请劳动仲裁时，如果当事人发现仲裁员存在上述应当回避的情形，有权依法提出回避申请，以维护自己的合法权益。如果你在劳动仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。