劳动仲裁书记员在存在法定回避情形时，当事人有权申请其回避。以下是详细分析：
一、申请回避的法律依据
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第三十三条的规定，仲裁员（包括书记员等仲裁参与人员）在存在以下情形之一时，应当回避，当事人也有权以口头或书面方式提出回避申请：
是本案当事人或者当事人、代理人的近亲属：这里的“近亲属”通常包括配偶、父母、子女、兄弟姐妹等具有直接血缘或婚姻关系的人员。由于亲情关系的存在，可能影响公正裁决。
与本案有利害关系：如果仲裁员（或书记员）与案件处理结果存在经济利益、关联业务或其他利益损害关系，这种利害关系可能影响其公正裁决。
与本案当事人、代理人有其他关系，可能影响公正裁决：这种“其他关系”范围广泛，包括但不限于亲戚（除近亲属外）、同学、朋友、同事、师生等。这些关系有可能影响仲裁员（或书记员）在案件审理过程中的中立性和公正性。
私自会见当事人、代理人，或者接受当事人、代理人的请客送礼：仲裁员（或书记员）应当保持公正廉洁。如果存在私自会见一方当事人及其代理人或接受请客送礼等行为，这极有可能导致其在案件审理和裁决过程中偏袒该方当事人，从而损害另一方的合法权益。
二、申请回避的程序
提出申请：当事人应在知悉回避事由后及时向仲裁委员会提出书面或口头申请，并说明理由。申请时，应尽可能提供证明回避事由存在的证据材料，以提高申请成功率。
审查决定：仲裁委员会应在收到申请后一定期限内作出决定，并通知当事人。若申请成立，将更换相关人员（如书记员）重新进行仲裁程序。
暂停参与：在仲裁委员会作出是否回避的决定前，被申请回避的书记员应暂停参与本案的仲裁工作（紧急措施除外），以确保仲裁程序的公正性不受影响。
三、申请回避的注意事项
及时申请：当事人应在知悉回避事由后尽快提出申请，以免影响仲裁程序的正常进行。
充分举证：为提高申请成功率，当事人应尽可能提供充分的证据证明书记员存在应当回避的情形。
尊重决定：当事人应尊重仲裁委员会作出的回避决定，并积极配合新的仲裁人员（如书记员）进行案件审理。
总结来看，在劳动仲裁过程中，如果书记员存在上述法定回避情形之一，当事人有权依法申请其回避。这是保障仲裁公正性和当事人合法权益的重要制度。如果您在劳动仲裁过程中遇到类似问题，或有其他法律疑问，欢迎直接向我咨询。