劳动仲裁申请人确实可以申请回避。这是为了保障劳动仲裁的公正性和中立性，确保仲裁结果能够客观、公平地反映双方当事人的真实意愿和权益。以下是对此问题的详细解析：

一、申请回避的情形

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第三十三条以及相关仲裁规则，仲裁员或记录人员在存在以下情形时，必须回避，申请人也有权提出回避申请：

1. 身份关系冲突：仲裁员或记录人员是本案当事人，或者与当事人、代理人有近亲属关系。
2. 利害关系冲突：仲裁员或记录人员与本案存在直接的利害关系，可能影响其公正裁决或记录。
3. 其他影响公正的关系：仲裁员或记录人员与本案当事人、代理人之间存在其他可能影响公正仲裁或记录的关系。
4. 不当接触：仲裁员或记录人员私自会见当事人、代理人，或者接受其请客送礼，严重违反职业道德和仲裁规则。

二、申请回避的程序

申请人申请回避需遵循以下程序：

1. 提交申请：申请人可以通过口头或书面方式向仲裁委员会提出回避申请。书面申请应明确申请回避的对象，并详细说明申请回避的具体事实和理由，同时提供相关证明材料以支持其申请。
2. 申请时间：原则上，申请人应在案件开庭审理前提出回避申请。若回避事由在案件开庭审理后知晓的，也可以在庭审辩论终结前提出。当事人在庭审辩论终结后提出回避申请的，不影响仲裁程序的进行。
3. 处理流程：仲裁委员会将及时对申请人的回避申请进行审查，并在规定期限内作出是否批准回避的决定。若决定回避，将另行指定仲裁员或记录人员继续审理或记录案件；若决定不回避，申请人有权对该决定申请复议，但复议期间仲裁程序将继续进行。

三、申请回避的注意事项

在申请回避时，申请人应注意以下几点：

1. 充分举证：申请人应提供充分的证据证明仲裁员或记录人员存在应当回避的情形，以增加申请获得支持的可能性。
2. 尊重决定：申请人应尊重仲裁委员会作出的回避决定，并积极配合新的仲裁员或记录人员进行案件审理或记录。
3. 及时申请：申请人应在知晓回避事由后及时提出回避申请，以免错过申请时机。

举例说明：假设在某劳动仲裁案件中，申请人发现仲裁员与对方当事人存在近亲属关系，可能影响公正裁决。此时，申请人可以依据上述规定，向仲裁委员会提出回避申请，并提供相关证明材料。仲裁委员会将及时审查并作出决定。

综上所述，劳动仲裁申请人可以申请回避，这是保障仲裁公正性和中立性的重要措施。如果您在劳动仲裁过程中遇到类似问题，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律建议。