在厂里上班没有签合同但手指断了，劳动者依然可以主张赔偿。以下从多个角度为你详细分析：

一、事实劳动关系的认定

根据《劳动合同法》及相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即便未签订书面劳动合同，只要存在实际用工行为，如你提供劳动、接受工厂管理、获得报酬等，即可认定为事实劳动关系。证明劳动关系的证据包括：

• 工资支付凭证或记录（如职工工资发放花名册、银行转账记录）；
• 缴纳各项社会保险费的记录；
• 用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等身份证件；
• 劳动者填写的招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录；
• 考勤记录；
• 其他劳动者的证言。

二、工伤认定与赔偿

根据《工伤保险条例》，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。工伤职工依法享受工伤保险待遇，包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残补助金等。具体流程如下：

1. 申请工伤认定：
   • 时效要求：职工发生事故伤害后，所在单位应当自事故伤害发生之日起30日内提出工伤认定申请；单位未提出的，工伤职工或其近亲属可在1年内直接向社会保险行政部门提出申请。
   • 所需材料：需提交工伤认定申请表、医疗诊断证明或职业病诊断证明书、劳动关系证明材料（如上述提到的工资支付记录、考勤表、同事证言等）。
2. 劳动能力鉴定：经治疗伤情相对稳定后，可向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，确定伤残等级。劳动能力鉴定主要确定劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度，其结果是计算工伤赔偿数额的重要依据。
3. 主张赔偿：根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，你可以向工厂主张相应的赔偿。赔偿项目通常包括：
   • 医疗费用：符合工伤保险诊疗项目目录、药品目录、住院服务标准的费用，从工伤保险基金支付；若工厂未缴纳工伤保险，则由工厂承担。
   • 停工留薪期工资：职工因工作遭受事故伤害需暂停工作接受治疗的，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
   • 伤残津贴：根据伤残等级，从工伤保险基金按伤残等级支付一次性伤残补助金；若保留劳动关系但退出工作岗位，还会按月支付伤残津贴。若工厂未缴纳工伤保险，这些费用由工厂承担。
   • 生活护理费：若工伤职工被评定需要生活护理，从工伤保险基金按月支付生活护理费；若工厂未缴纳工伤保险，则由工厂支付。

三、未签劳动合同的额外赔偿

由于工厂未与你签订劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，你除了可以获得工伤赔偿外，还可以要求工厂支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。计算公式为： [未签劳动合同双倍工资差额 = 月工资 \times (未签合同月数 - 1)] 例如，若你月工资为5000元，未签合同时间为6个月，则工厂应支付的双倍工资差额为： [5000 \times (6 - 1) = 25000元]

四、法律程序与救济途径

若工厂拒绝赔偿，你可以采取以下措施维护自己的合法权益：

1. 申请劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据材料，如工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书、劳动关系证明等。
2. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼，通过司法途径解决纠纷。

五、注意事项

1. 保留证据：务必保存好与工厂存在劳动关系的证据，以及工伤事故发生的相关证据，如现场照片、证人证言等，以便在申请工伤认定和索赔时提供支持。
2. 及时维权：注意工伤认定的时效限制，避免错过申请期限导致权益受损。
3. 寻求专业帮助：在处理工伤赔偿和劳动纠纷过程中，可能会涉及复杂的法律问题和程序，如有需要，可随时向我咨询，以更好地维护自身合法权益。

总之，即使未签劳动合同，只要建立了用工关系并能证明事实劳动关系的存在，你仍有权主张工伤赔偿和未签劳动合同的双倍工资差额。希望以上分析能对你有所帮助，如有其他疑问，欢迎继续向我咨询。