核心结论：工人没有签订劳动合同但因工作断了一个手指，可依法主张工伤赔偿，赔偿项目及金额需根据伤残等级、工资水平等因素确定，同时可一并主张未签劳动合同的双倍工资差额。以下是具体分析：

一、关于工伤认定与赔偿

1. 工伤认定：

   • 即使未签订劳动合同，只要存在事实劳动关系（如工资发放记录、工作证、考勤记录、同事证言等可证明劳动关系），工人仍可申请工伤认定。
   • 根据《工伤保险条例》第十四条，在工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害的，应认定为工伤。断指属于典型的工作伤害，符合工伤认定条件。

2. 赔偿项目：

   • 医疗费用：包括治疗断指的手术费、药费、康复费等。
   • 停工留薪期工资：按原工资福利按月支付，一般不超过12个月（具体由劳动能力鉴定委员会确定）。
   • 一次性伤残补助金：根据伤残等级（需劳动能力鉴定）确定，例如十级伤残为7个月本人工资，九级为9个月，以此类推。
   • 一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金：离职时由工伤保险基金和用人单位支付，具体标准因地而异（如广东十级伤残合计约4-10个月社平工资）。
   • 护理费、住院伙食补助费等：根据实际需要和当地标准支付。

3. 赔偿流程：

   • 申请工伤认定（用人单位未申请的，工人或其家属可在1年内直接向社保部门申请）。
   • 劳动能力鉴定（确定伤残等级）。
   • 协商赔偿或申请劳动仲裁（若用人单位未参保，由用人单位承担全部赔偿）。

二、关于未签劳动合同的双倍工资差额

1. 法律依据：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未签劳动合同的，应向劳动者每月支付双倍工资（最多11个月）。

2. 主张方式：

   • 在申请劳动仲裁时，可一并主张未签合同的双倍工资差额（需提供证明劳动关系的证据）。

三、关键注意事项

1. 证据收集：

   • 尽快收集工资转账记录、工作证、考勤记录、同事证言等证明劳动关系的材料。
   • 保留医疗记录、费用单据等工伤相关证据。

2. 时效限制：

   • 工伤认定申请需在1年内提出。
   • 劳动仲裁需在纠纷发生后1年内提出（部分地区从知道权益受损之日起算）。

3. 用人单位未参保的处理：

   • 若用人单位未缴纳工伤保险，所有工伤赔偿由用人单位承担。

建议行动：

1. 立即向用人单位提出工伤认定申请（若单位拒绝，可自行申请）；
2. 同步收集劳动关系证据和工伤证据；
3. 咨询专业律师或当地劳动部门，确保程序合法、赔偿最大化。

如有进一步疑问或需要协助计算具体赔偿金额，可直接向我咨询。