在工厂上班时手指断了，即使没有签订劳动合同，您仍然有权主张相应的赔偿。以下是我为您详细梳理的赔偿流程和相关法律依据：

一、法律依据与事实劳动关系认定

首先，根据《劳动合同法》及相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。这意味着，即使您没有与工厂签订书面劳动合同，但只要您实际为工厂提供了劳动、接受了工厂的管理，并获得了相应的报酬，那么您与工厂之间就构成了事实劳动关系。

二、工伤认定与赔偿

接下来，根据《工伤保险条例》，如果您在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害（如手指断裂），那么这种情况应当被认定为工伤。一旦被认定为工伤，您就有权依法享受工伤保险待遇，这包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残补助金等。

三、赔偿途径与具体步骤

1. 申请工伤认定：

   • 时效要求：您或您的近亲属需要在事故伤害发生之日起1年内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果工厂在事故发生后30日内没有提出申请，您可以直接提出。
   • 所需材料：在申请工伤认定时，您需要提交工伤认定申请表、医疗诊断证明（如医院出具的诊断书）、以及证明您与工厂存在劳动关系的材料（如工资支付记录、考勤表、同事证言等）。

2. 劳动能力鉴定：

   • 在您的伤情相对稳定后，您可以向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，以确定您的伤残等级。这将直接影响您能够获得的伤残补助金等赔偿。

3. 协商赔偿：

   • 一旦您被认定为工伤并确定了伤残等级，您可以与工厂协商赔偿事宜。赔偿项目可能包括一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等。

4. 劳动仲裁或诉讼：

   • 如果协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，您还可以向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

四、注意事项

1. 保留证据：在整个过程中，您务必保存好与工厂存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据将在您申请工伤认定和索赔时发挥重要作用。

2. 及时维权：请注意工伤认定的时效限制，避免错过申请期限导致权益受损。同时，也要关注其他相关赔偿的时效要求。

3. 法律援助：如果您在维权过程中遇到困难或需要专业建议，可以寻求专业律师的帮助。他们将能够为您提供更具体、更专业的法律指导。

希望以上信息能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。