在私人厂里手指受伤且未签劳务合同的情况下，您仍然有权主张赔偿。以下是我为您详细梳理的赔偿流程和注意事项：
一、明确法律依据
事实劳动关系认定：
- 根据《劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要您实际为工厂提供了劳动、接受了工厂的管理并获得了报酬，即可认定为存在事实劳动关系。
工伤认定与赔偿：
- 根据《工伤保险条例》，如果您在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，应当认定为工伤，并依法享受工伤保险待遇，包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残补助金等。
二、赔偿途径与步骤
申请工伤认定：
- 时效：请务必在事故伤害发生后的30日内由工厂提出工伤认定申请；若工厂未提出，您或您的近亲属可在1年内直接向社会保险行政部门提出申请。
- 所需材料：准备工伤认定申请表、医疗诊断证明或职业病诊断证明书，以及能证明劳动关系的材料，如工资支付记录、考勤表、同事证言等。
劳动能力鉴定：
- 在伤情相对稳定后，您可向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，以确定伤残等级，这是后续赔偿的重要依据。
协商赔偿：
- 若被认定为工伤且构成伤残，您可与工厂协商具体的赔偿事宜，包括一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等。
劳动仲裁或诉讼：
- 若协商不成，您可向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，可进一步向法院提起诉讼，以维护您的合法权益。
三、注意事项
保留证据：
- 请务必妥善保存所有能证明您与工厂存在劳动关系的证据，以及事故发生的经过和伤害情况的相关证据，如医疗记录、现场照片等。
及时维权：
- 请注意工伤认定的时效限制，确保在规定的期限内提出申请，避免错过申请期限导致权益受损。
寻求法律援助：
- 如果您在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，可寻求专业律师的帮助，以更好地维护您的合法权益。
综上所述，即使未签劳务合同，在私人厂里手指受伤后，您仍然可以通过上述途径主张赔偿。请务必保留好相关证据，及时采取行动，以维护您的合法权益。