结论前置：公安机关不予重新鉴定的决定，在符合特定条件下，当事人可以申请行政复议或提起行政诉讼来维护自身权益。
一、申请行政复议
可以申请行政复议的情形：
- 如果不予重新鉴定的决定是由公安机关（行政机关）在履行行政管理职责过程中，针对特定的公民、法人或者其他组织作出的，并且该决定对当事人的权利义务产生了实际影响，那么当事人有权依法申请行政复议。例如，在行政处罚案件中，公安机关依据鉴定意见作出处罚决定，当事人对鉴定意见有异议并申请重新鉴定，但公安机关作出不予重新鉴定的决定，此决定影响了当事人的实际权利义务，因此可以申请行政复议。
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，认为行政机关的其他行政行为侵犯其合法权益的，公民、法人或者其他组织可以依照本法申请行政复议。不予重新鉴定的决定如果侵犯了当事人的知情权、参与权、陈述申辩权等合法权益，且属于行政机关作出的其他行政行为范畴，当事人即可提出行政复议申请。
申请行政复议的流程：
- 当事人应在知道公安机关作出不予重新鉴定决定之日起六十日内，向作出决定的公安机关的上一级公安机关提出复核申请，或者按照相关规定申请复议。
- 在申请中，应清晰阐述重新鉴定的必要性和合理性，详细说明原鉴定可能存在的问题及其对案件处理结果的重大影响，并提供相应证据或线索支持自己的主张。
二、提起行政诉讼
可以提起行政诉讼的情形：
- 如果当事人认为公安机关的不予重新鉴定决定侵犯了其合法权益，且该决定不属于行政复议的受案范围或者当事人对行政复议结果不服，那么当事人可以考虑向人民法院提起行政诉讼。
- 在诉讼过程中，当事人需要提供充分的证据证明其诉求的合理性和合法性，请求法院对公安机关的决定进行审查并作出公正裁决。
提起行政诉讼的流程：
- 当事人应在知道公安机关作出不予重新鉴定决定之日起六个月内，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。
- 起诉时，应提交起诉状，并按照被告人数提出副本。起诉状应载明当事人的基本信息、诉讼请求、事实与理由等。
三、其他应对措施
向检察院反映并申请立案监督：
- 当事人可以向同级人民检察院控告申诉部门提出申诉，说明公安机关不予重新鉴定的情况及自己认为需要重新鉴定的理由，请求检察院进行审查并监督。
- 检察院经审查后，可能会要求公安机关说明不予重新鉴定的依据和理由，甚至在必要时指令公安机关重新鉴定。
在后续法律程序中主张权利：
- 如果案件进入刑事诉讼的其他阶段（如审查起诉、审判阶段），当事人仍然认为需要重新鉴定的，可以向检察官或法官提出重新鉴定的申请，并详细阐述理由。
- 同样，在民事诉讼中，当事人也可以向审理案件的法官提出重新鉴定的请求。检察官、法官会根据案件具体情况和全案证据，综合判断是否有必要启动重新鉴定程序。
四、注意事项
- 在整个过程中，当事人应保持冷静和理性，尊重法律程序和公安机关的权威。通过合法、合规的途径表达诉求，避免采取过激行为。
- 鉴于涉及复杂的法律程序和专业知识，当事人应当积极寻求我的专业帮助，以确保权益得到有效维护。我可以从法律角度全面分析公安机关不予重新鉴定决定的合法性和合理性，为当事人制定切实可行的维权策略。
综上所述，公安机关不予重新鉴定的决定并非不可挑战。当事人可以根据具体情况选择申请行政复议、提起行政诉讼或采取其他应对措施来维护自身权益。