结论：针对您上班5个月工厂未签劳动合同且现在被解雇的情况，您有权要求工厂支付未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的经济补偿金。
详细分析：
未签劳动合同的双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 应用情况：您已经上班5个月，工厂一直未与您签订劳动合同，因此，您有权要求工厂支付从第二个月开始至第五个月（共4个月）的双倍工资差额。即，如果您的月工资为X元，那么工厂应额外支付您4X元作为未签劳动合同的补偿。
经济补偿金：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，用人单位因特定原因（如劳动合同期满、用人单位被依法宣告破产等，以及双方协商一致解除劳动合同等情形，虽然您的情况不完全符合列举情形，但工厂无正当理由解雇您，可视为违法解除，应支付经济补偿金，此处按一般经济补偿金逻辑说明）解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 应用情况：虽然您的情况更接近于工厂违法解除劳动合同，但即便按照一般经济补偿金的计算方式，您也有权获得至少半个月工资的经济补偿（因为您工作了5个月，不满6个月）。如果工厂是违法解除劳动合同，那么您还有权要求工厂支付赔偿金，即双倍的经济补偿金，也就是一个月工资。但在此我们主要讨论经济补偿金的一般情况，具体赔偿需根据实际情况判断。
维权途径：
- 协商：首先，您可以尝试与工厂进行协商，看是否能够达成和解，工厂自愿支付您应得的补偿。
- 劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据（如工资条、工作证、考勤记录等）来证明您与工厂的劳动关系以及工厂未签劳动合同和违法解雇的事实。
- 诉讼：如果对劳动仲裁的结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
建议：
- 在维权过程中，务必保留好所有与工厂相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录、与工厂的沟通记录等，这些证据将对您维权起到关键作用。
- 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，建议寻求专业法律人士的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
后续行动：
- 您现在可以开始收集相关证据，并考虑与工厂进行协商。
- 如果协商无果，您可以及时向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。