核心结论：工人手指头受伤截指，即便与公司没有雇佣协议，公司仍可能需承担相应责任，具体责任承担情况需分不同法律关系和情形来分析。

核心前提：工人手指受伤截指这一损害结果已经发生，且与公司存在一定关联，但双方未签订雇佣协议。

若双方构成事实劳动关系

1. 责任认定：虽然没有书面雇佣协议，但只要双方实际履行了劳动权利义务，形成了事实劳动关系，公司就应当承担工伤保险责任。根据《工伤保险条例》，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病进行治疗，享受工伤医疗待遇。工人手指受伤截指属于工伤范畴，公司需按照工伤标准进行赔偿。
2. 赔偿项目：包括一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金、停工留薪期工资、医疗费、护理费、交通费等。具体标准根据伤残等级和当地相关规定确定。例如，一次性伤残补助金根据伤残等级，以本人工资为基数，从一级到十级分别支付27个月至7个月的本人工资。
3. 举证责任：工人需要证明与公司存在事实劳动关系，以及受伤是在工作过程中因工作原因导致的。可以通过工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据来证明。

若双方构成劳务关系

1. 责任认定：如果双方是劳务关系，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。公司作为接受劳务一方，如果对工人受伤存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等，应当承担相应的赔偿责任；如果工人自身存在过错，如违规操作等，可以减轻公司的责任。
2. 赔偿项目：主要包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果因伤致残，还包括残疾赔偿金、残疾辅助器具费等。残疾赔偿金根据伤残等级，按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，自定残之日起按二十年计算。
3. 举证责任：工人需要证明受伤是在提供劳务过程中因劳务导致的，以及公司存在过错。公司如果主张自己无过错，需要提供相应的证据，如安全管理制度、培训记录等。

若公司存在违法用工情形

1. 责任认定：如果公司存在违法用工，如使用童工等，根据《非法用工单位伤亡人员一次性赔偿办法》，公司应当承担更重的赔偿责任。非法用工单位伤亡人员，是指无营业执照或者未经依法登记、备案的单位以及被依法吊销营业执照或者撤销登记、备案的单位受到事故伤害或者患职业病的职工，或者用人单位使用童工造成的伤残、死亡童工。
2. 赔偿项目：一次性赔偿金按照以下标准支付：一级伤残的为赔偿基数的16倍，二级伤残的为赔偿基数的14倍，三级伤残的为赔偿基数的12倍，四级伤残的为赔偿基数的10倍，五级伤残的为赔偿基数的8倍，六级伤残的为赔偿基数的6倍，七级伤残的为赔偿基数的4倍，八级伤残的为赔偿基数的3倍，九级伤残的为赔偿基数的2倍，十级伤残的为赔偿基数的1倍。赔偿基数是指单位所在工伤保险统筹地区上年度职工年平均工资。

建议：工人可以先收集相关证据，如工作记录、受伤现场照片、医疗诊断证明等，然后与公司协商赔偿事宜。如果协商不成，可以向劳动监察部门投诉或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，也可以直接向人民法院提起诉讼。在处理过程中，如果遇到法律问题，可以直接向我咨询。