当公司和包工头没有签订协议，而工人受伤时，责任的归属及处理方式确实是一个复杂且需要细致分析的问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、责任主体认定
包工头与工人的法律关系：
- 即便没有书面劳动合同，只要存在事实上的劳动关系（如定期支付工资、接受包工头的管理等），工人就有权主张相应的权益。此时，包工头作为雇主，对工人因工作导致的伤害应承担主要赔偿责任。
发包方或分包方的连带责任：
- 如果发包方或分包方在知道或应当知道包工头没有相应资质或安全生产条件的情况下，仍然将工程分包或转包给包工头，那么发包方或分包方也需要与包工头承担连带赔偿责任。例如，在建筑行业中，如果建筑公司将工程分包给了一个没有资质的包工头，那么当工人受伤时，建筑公司也需要承担相应的责任。
工伤保险责任的特殊情形：
- 如果包工头挂靠在一个有资质的施工单位名下承揽工程，那么工人可以依据相关规定，要求被挂靠的单位承担工伤保险责任。
二、未签合同的应对策略
收集证据证明事实劳动关系：
- 工人应尽可能收集能够证明与包工头之间存在事实劳动关系的证据，如工资支付记录（银行流水、微信转账凭证等）、工作证、服务证、考勤记录、工友证言、工作群聊天记录、任务指派凭证等。
申请劳动仲裁确认劳动关系：
- 如果与包工头或发包方就劳动关系存在争议，工人可以在受伤后一年内向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求确认劳动关系。仲裁时效可能会因向有关部门请求权利救济等情形而中断。
三、赔偿途径选择
工伤认定程序：
- 一旦劳动关系得到确认，工人应尽快由用人单位（在包工头没有资质的情况下，可能是发包方或被挂靠单位）在30日内申请工伤认定。如果用人单位未申请，工人也可以在1年内自行向社保部门提出工伤认定申请。申请时需要提交医疗诊断证明、事故见证人笔录等材料。
人身损害赔偿诉讼：
- 如果无法认定为工伤，工人还可以依据《民法典》的相关规定，起诉包工头及相关责任方，要求赔偿医疗费、误工费、残疾赔偿金等费用。但需要注意的是，人身损害赔偿诉讼的诉讼时效为三年。
四、风险防范建议
工人层面：
- 工人应尽可能留存与工作相关的证据，以便在需要时证明自己的权益。同时，一旦受伤，应及时主张自己的权利，避免超过诉讼时效。
包工头层面：
- 包工头应依法与工人签订劳动合同，明确双方的权利和义务。同时，可以考虑为工人购买商业保险，以减轻因工人受伤而可能承担的经济负担。
发包方层面：
- 发包方在分包或转包工程时，应严格审查承包方的资质和安全生产条件，避免违法分包或转包给没有资质的包工头。
综上所述，当公司和包工头没有签订协议而工人受伤时，责任的归属及处理方式需要综合考虑多个因素。工人应积极收集证据、申请劳动仲裁确认劳动关系，并根据具体情况选择合适的赔偿途径。同时，各方也应加强风险防范意识，避免类似情况的发生。