结论前置：若在私人小工厂打工未签订劳动合同且被开除，劳动者有权根据工厂开除行为的合法性，通过收集证据证明劳动关系，采取协商、投诉、仲裁或诉讼等措施，主张双倍工资、经济补偿或赔偿金等权益。以下从不同角度详细分析：

一、证明劳动关系的证据收集

在没有签订书面劳动合同的情况下，证明与工厂存在事实劳动关系是维权的第一步。关键证据包括但不限于：

• 工资支付凭证：如银行转账记录、工资条，显示工厂名称、转账时间和金额。
• 工作证件：工作证、服务证等，印有工厂名称、姓名、岗位等信息。
• 考勤记录：纸质或电子考勤表，证明工作时间和出勤情况。
• 同事证言：同事的口头或书面证言，最好能出庭作证以增强可信度。
• 其他相关证据：工作文件、邮件往来、业务记录等，证明为工厂提供了劳动。

二、判断工厂开除行为的合法性

• 合法解除：若劳动者严重违反工厂规章制度或失职造成重大损害，工厂可合法解除劳动关系且无需经济补偿，但需承担举证责任。例如，劳动者多次旷工、严重违反操作规程导致事故等。
• 违法解除：工厂无合法理由或开除程序不符合法律规定，即为违法解除。例如，未提前通知、不合理理由辞退、未支付经济补偿等。

三、根据不同情形主张权益

1. 未签订劳动合同的双倍工资：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者签订书面劳动合同的，应每月支付二倍工资。计算方式从入职第二个月开始，最多可主张11个月的双倍工资差额。计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × (11 - 已签订合同月数，若未签订则为11)。例如，若月工资为5000元，且未签订劳动合同，则最多可主张55000元（5000元 × 11个月）的双倍工资差额。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金：

   • 若工厂违法解除劳动关系，劳动者可要求赔偿金，标准为经济补偿的二倍。经济补偿按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付半个月工资。计算公式为：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = 月工资 × 工作年限（若不满半年按0.5计算，半年至一年按1计算）× 2。例如，若月工资为5000元，工作年限为1年6个月，则经济补偿为10000元（5000元 × 2个月），赔偿金为20000元（10000元 × 2）。

四、维权途径与步骤

1. 与工厂协商：

   • 尝试与工厂负责人协商，提出诉求如双倍工资、经济补偿或赔偿金。保留协商过程中的聊天记录、通话录音等证据。

2. 向劳动监察部门投诉：

   • 若协商不成，可向当地劳动监察部门投诉，提交相关证据材料。劳动监察部门将调查并依法处理。

3. 申请劳动仲裁：

   • 向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请书、身份证明、证据材料等。仲裁委员会将安排开庭审理并作出裁决。申请仲裁的时效为一年，自知道或应当知道权益被侵害之日起计算。

4. 提起诉讼：

   • 对仲裁裁决不服的，可在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。法院将重新审理并作出判决。

五、注意事项与建议

• 在维权过程中保持冷静和理性，尽量收集并保留所有相关证据。
• 了解并遵循相关法律法规和程序要求，确保维权行动的合法性和有效性。
• 若对法律程序或权益主张存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。

希望以上分析能对你有所帮助。若你有进一步的法律问题或需要具体的法律帮助，请随时向我提问。