结论：在私人小厂被辞退且没有签订劳动合同的情况下，您仍然有权获得相应的赔偿，主要包括未签订劳动合同的双倍工资赔偿以及违法解除劳动合同的赔偿金。

一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

具体计算：

• 计算期间：从入职满一个月的次日起开始计算，最长不超过11个月。
• 计算基数：包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。

示例：如果您在私人小厂工作了8个月且未签订劳动合同，那么您有权获得从第二个月开始到第八个月，共7个月的双倍工资赔偿。

二、违法解除劳动合同的赔偿金

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

经济补偿计算：

• 工作年限确定：从入职之日起计算至被辞退之日，每满一年支付一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 月工资标准：指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若月工资高于当地职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
• 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿的二倍。

示例：如果您在私人小厂工作了1年3个月，月工资为5000元，且被违法辞退，那么您应获得的经济补偿为1.5个月工资（1年×1个月+3个月×0.5个月），即7500元。赔偿金则为经济补偿的二倍，即15000元。

三、维权途径与建议

1. 收集证据：

   • 工资支付记录（如银行转账记录、工资条等）
   • 工作证、服务证等能够证明身份的证件
   • 考勤记录
   • 与雇主沟通的记录（如短信、微信聊天记录等）
   • 工作交接记录
   • 其他劳动者的证言等

2. 与雇主协商：在收集了足够的证据后，可以尝试与雇主进行协商，要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。

3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。具体步骤如下：

   • 提交仲裁申请：填写仲裁申请书，详细陈述自己的诉求和事实理由，并附上相关证据材料。
   • 等待受理和开庭：仲裁委员会在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。如受理，会安排开庭时间，并通知双方当事人。
   • 参加庭审：在庭审中，要如实陈述事实，提供证据支持自己的主张，并针对雇主的辩解和反驳进行有力的回应。

4. 提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，可以在规定的期限内向人民法院提起诉讼。诉讼过程中，需要继续提供证据证明自己的主张，并遵循法院的审理程序和要求。

四、注意事项

• 及时行动：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，要及时采取行动维护自己的权益。
• 保留证据：在整个过程中，都要注意保留好相关证据材料，以便在需要时提供证明。

作为张越律师，我建议您在维权过程中保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。如果您在维权过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律帮助。