结论前置：在私人小厂工作且没有签订劳动合同的情况下，如果工厂关闭，您是有可能获得赔偿金的，但具体能否获得以及赔偿的金额，需要根据实际情况和法律规定来确定。以下是从不同角度的详细分析：
一、未签订劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果工厂在您工作期间一直未与您签订劳动合同，您有权要求工厂支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。
二、工厂关闭时的经济补偿
经济补偿的适用条件：
- 如果工厂因经营不善等原因关闭，且符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条规定的劳动合同终止情形，那么工厂应当向您支付经济补偿。
经济补偿的计算方式：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
特殊情况下的经济补偿：
- 如果工厂未依法为劳动者缴纳社会保险费，或者未及时足额支付劳动报酬等，劳动者在解除劳动合同时，除有权要求经济补偿外，还可能要求工厂支付其他赔偿或补缴相关费用。
三、实际操作中的注意事项
收集证据：
- 在主张权利时，您需要提供能够证明您与工厂存在劳动关系以及工作年限、工资水平等的相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
协商与调解：
- 在发生纠纷时，您可以先尝试与工厂进行协商，看是否能够达成和解协议。如果协商不成，您可以向当地的劳动争议调解组织申请调解。
仲裁与诉讼：
- 如果调解不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
四、可能面临的挑战
- 证据收集困难：由于未签订劳动合同，您在收集证据时可能会面临一定的困难。因此，建议您尽可能收集与工作相关的各种证据，以支持您的主张。
- 工厂无力支付：如果工厂确实经营不善且无力支付赔偿金，您可能需要通过法律程序来追讨欠款，但这可能会耗费较长的时间和精力。
建议：鉴于您的情况可能涉及多个法律方面的问题，且实际操作中可能面临各种挑战，我建议您在采取任何行动之前，先咨询专业的法律人士（即向我咨询），以便更准确地了解您的权利和义务，以及如何更有效地维护自己的合法权益。