结论前置：给私人老板打工没签合同被辞退，劳动者有权依法获得双倍工资赔偿及违法解除劳动关系的赔偿金。具体赔偿金额依据工作年限和月工资标准计算，并可通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径维权。

一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果你在私人老板处工作了一段时间（超过一个月但不满一年）且一直未签订劳动合同，那么从第二个月开始，你可以要求老板支付额外一倍的工资作为赔偿。

计算公式：双倍工资赔偿 = 月工资 × (工作月数 - 1)（其中，工作月数从入职第二个月开始计算，最长不超过11个月）。

举例：如果你在私人老板处工作了6个月，月工资为5000元，且一直未签订劳动合同，那么你可以要求老板支付5个月的双倍工资赔偿，即5000元 × 5 = 25000元（额外赔偿部分）。

二、违法解除劳动关系的赔偿金

1. 情形认定：

   • 如果私人老板辞退你的行为不符合《劳动合同法》规定的合法解除情形（如你严重违反规章制度、不能胜任工作等），则构成违法解除劳动关系。

2. 赔偿标准：

   • 依据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

计算公式：

• 经济补偿 = 月工资 × 工作年限（工作年限计算方式同上）。
• 赔偿金 = 经济补偿 × 2。

举例：如果你在私人老板处工作了1年3个月，月工资为5000元，且被违法辞退，那么经济补偿为1.5个月工资，即5000元 × 1.5 = 7500元；赔偿金则是经济补偿的二倍，即7500元 × 2 = 15000元。

三、维权途径

1. 与雇主协商：

   • 首先尝试与私人老板沟通，说明法律规定，要求其依法支付相应赔偿。通过友好协商解决问题既节省时间和精力，也有利于维护双方关系。

2. 向劳动监察部门投诉：

   • 如果协商不成，你可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位进行调查和处理，要求其改正违法行为。

3. 申请劳动仲裁：

   • 你还可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。申请时需准备好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等，以证明劳动关系及被辞退的事实。仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。

4. 提起诉讼：

   • 如果对仲裁结果不满意，你可以在规定的期限内向人民法院提起诉讼。在此过程中，保存好所有相关证据至关重要。

四、总结与建议

面对未签订劳动合同且被辞退的情况，你应充分了解自己的法律权益，积极采取行动维护自身合法权益。在维权过程中，保持冷静、理性，注重证据的收集和保存，选择适当的维权途径。如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助和支持。