结论：您在私人老板处工作一年三个月未签劳动合同被辞退，是有权获得相应补偿的，主要包括未签订书面劳动合同的双倍工资差额以及可能因违法解除劳动关系而获得的赔偿金。
一、未签订书面劳动合同的双倍工资
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位应在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未能在该期限内订立，则从用工满一个月的次日起至满一年前的期间内，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。
计算方式：
- 假设您每月工资为X元，那么从第二个月开始至第十二个月（共11个月），您均有权获得双倍工资的差额部分。但考虑到您实际工作了一年三个月，即15个月，其中第一个月不计算双倍工资，后14个月中，前11个月可主张双倍工资差额。不过，由于法律规定的双倍工资差额计算上限为11个月（从用工满一个月的次日起算至满一年前），所以您可主张的双倍工资差额为11个月的工资，即11X元（但实际操作中，若按月主张，则每月可主张X元的差额，直至满11个月为止）。不过，由于您已经工作超过一年，对于超过一年的部分（即第13至15个月），虽然不再享受双倍工资差额，但用人单位仍需支付正常工资。在此我们主要讨论可主张的补偿部分，即11X元。
- 简化理解：您可以理解为，除了已经领取的工资外，用人单位还需额外支付您11个月的工资作为未签劳动合同的补偿。
二、违法解除劳动关系的赔偿金
用人单位辞退劳动者必须基于合法理由。若无正当理由辞退劳动者，即构成违法解除劳动关系，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
计算方式：
- 您在本单位工作了15个月，即1年3个月，因此经济补偿为1.5个月的工资（1年对应1个月，不满6个月对应0.5个月）。
- 由于是违法解除，所以赔偿金为经济补偿的两倍，即3个月的工资，计算为3X元。
三、特殊情况说明
- 如果您存在严重违反公司规章制度、给公司造成重大损失等过错行为，用人单位有权单方面解除劳动合同，并且无需支付任何赔偿。
- 您在主张权益时，应收集相关证据来证明与用人单位的劳动关系及被辞退的事实，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
四、维权途径
若与用人单位就补偿问题无法达成一致，您可以通过以下途径维护自己的合法权益：
- 协商：首先尝试与用人单位进行友好协商，看是否能达成一致的补偿方案。
- 投诉或仲裁：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，由相关部门介入调查并作出裁决。
- 诉讼：在必要时，可依法向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的权益。
示例说明：
假设您每月工资为5000元，那么：
- 未签订书面劳动合同的双倍工资差额为：11个月 × 5000元/月 = 55000元。
- 违法解除劳动关系的赔偿金为：3个月 × 5000元/月 = 15000元。
- 因此，您总共可获得的补偿为：55000元 + 15000元 = 70000元。
希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。