结论前置：私人公司未与劳动者签订劳动合同，劳动者在被辞退时通常有权获得双倍工资赔偿、解除劳动关系的经济补偿，若公司未按规定缴纳社保或违法辞退员工，劳动者还有权要求补缴社保和支付二倍经济补偿金。以下是对这些权益的详细解释：

1. 双倍工资赔偿

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司在你入职后超过一个月仍未与你签订劳动合同，你有权要求公司支付双倍工资，最多可累计至11个月。
   • 计算方式：二倍工资的数额按照你当月应得工资为标准计算，包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。计算期间从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或至满一年之日止（以较早者为准）。

2. 解除劳动关系的经济补偿

   • 情形：若因公司未签劳动合同，你以此为由解除劳动关系，用人单位需向你支付经济补偿。
   • 计算标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按你在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向你支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若你的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

3. 社保补缴与违法辞退赔偿

   • 社保补缴：若私人公司未按规定为你缴纳社保，你有权要求公司补缴。这是你的基本权益之一，确保你在医疗、养老等方面的社会保障。
   • 违法辞退赔偿：若公司违法辞退你（如辞退理由不合法、未按照法定程序辞退等），你有权要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算通常基于你的工作年限和离职前的工资水平。

4. 视为已订立无固定期限劳动合同的保护

   • 情形：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这意味着，如果公司在你入职后一年内仍未与你签订劳动合同，你将自动获得无固定期限劳动合同的保护，公司若无法定理由，不能随意解除劳动合同，否则需支付赔偿金。

5. 维权途径

   • 协商：你首先可与公司进行协商，要求支付未签合同的双倍工资等赔偿。
   • 劳动监察投诉：若协商不成，你可向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权调查并责令用人单位改正违法行为，支付相应赔偿。
   • 劳动仲裁：你还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁是一种正式的法律程序，仲裁委员会会根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。申请需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出。
   • 诉讼：若对仲裁结果不满意，你可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。

建议：在主张权益时，你应妥善保留相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、社保缴纳记录等，以证明劳动关系和用人单位的违法行为。这些证据在协商、投诉、仲裁和诉讼过程中都至关重要。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。