结论：新员工在私企工作一个月后被辞退，是否有补偿金取决于辞退的原因。若用人单位违法辞退，员工有权要求赔偿金；若用人单位合法辞退，则一般无需支付补偿金，但特定情形下需支付经济补偿金。
具体分析：
违法辞退的情形：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，如果用人单位在没有合法理由的情况下辞退员工，即构成违法辞退。在这种情况下，员工有权要求用人单位支付赔偿金。
- 赔偿金计算：赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。经济补偿金按照员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。因此，对于工作一个月的员工，如果构成违法辞退，赔偿金通常为一个月工资的两倍，即两个月工资（但实际操作中，由于工作不满六个月，经济补偿金为半个月工资，赔偿金则为其两倍，即一个月工资，不过此处从保护劳动者角度，按通常理解即违法解除的赔偿为经济补偿标准的二倍，针对一个月工作时长，直接表述为可主张赔偿金，数额相当于一个月工资更为直观）。不过更严谨的表述是，员工可主张违法解除劳动合同的赔偿金，数额根据其实际工资和工作时间确定，在此案例中，相当于一个月工资（因为工作时间不满六个月，经济补偿金为半个月工资，赔偿金为经济补偿金的两倍，即一个月工资，但考虑到实际判决中可能存在的细微差别，如按日计算工资等，最终数额可能略有不同，但大致相当于一个月工资）。
合法辞退的情形：
- 如果用人单位有合法理由辞退员工，如员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等，则用人单位无需支付赔偿金。
- 特定情形下的经济补偿金：然而，在某些特定情形下，即使辞退是合法的，用人单位也可能需要支付经济补偿金。例如，如果用人单位提出并与员工协商一致解除劳动合同，或者用人单位因经营状况发生严重困难等原因需要裁员，且符合相关法律规定，那么用人单位需要按照员工在本单位的工作年限支付经济补偿金。但在此案例中，由于员工仅工作一个月，且未提及这些特定情形，因此一般情况下无需支付经济补偿金。不过，若存在如劳动合同到期用人单位不续签等情形，虽不常见于仅工作一个月的情况，但理论上也可能涉及经济补偿金，只是在此具体案例中不适用。
建议：
- 如果员工认为自己被违法辞退，可以收集相关证据（如劳动合同、辞退通知、工资单等）并向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位支付赔偿金。
- 在申请劳动仲裁前，员工也可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的补偿。
- 如果员工对劳动仲裁结果不满意，还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
后续行动：
- 员工应尽快咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和帮助。
- 在处理此类纠纷时，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为或发表不当言论，以免对自己的权益造成不利影响。
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