单位一般不能仅根据十年前上一份劳动合同期内的犯罪记录来解除当前续签的劳动合同，但具体还需结合犯罪记录的性质、劳动合同的约定以及相关法律法规来判断。以下是对此问题的详细分析：
一、犯罪记录与劳动合同解除的关联性
犯罪记录的性质：
- 如果犯罪记录与当前劳动合同的工作内容、岗位职责无直接关联，且该犯罪行为已经过司法机关处理，且劳动者已经接受了相应的刑罚或处罚，那么单位通常不能仅凭此记录来解除劳动合同。
- 如果犯罪记录直接涉及当前劳动合同的工作内容或岗位职责，如涉及贪污、受贿、职务侵占等经济犯罪，且该犯罪行为对单位的利益造成了严重损害，那么单位可能会根据劳动合同的约定或相关法律法规来解除劳动合同。
劳动合同的约定：
- 劳动合同是双方自愿、平等、协商一致后签订的，其中应明确双方的权利和义务。如果劳动合同中明确约定了“劳动者有犯罪记录，单位有权解除劳动合同”的条款，且该条款不违反法律法规的强制性规定，那么单位在劳动者有犯罪记录时，有权依据该条款解除劳动合同。
- 如果劳动合同中没有此类约定，或者约定不明确，那么单位不能仅凭犯罪记录来解除劳动合同，而需要依据相关法律法规来判断。
二、相关法律法规的适用
《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：…（六）被依法追究刑事责任的。但这一条款通常适用于劳动者在劳动合同履行期间被追究刑事责任的情形，对于十年前的犯罪记录，且已经过司法机关处理的情况，可能不直接适用。
- 同时，根据该法第四十条，有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：…（二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的。这一条款与犯罪记录无直接关联，但单位在解除劳动合同时，需确保解除理由的合法性和合理性。
其他相关法律法规：
- 除了《中华人民共和国劳动合同法》外，还需考虑《中华人民共和国刑法》、《中华人民共和国刑事诉讼法》等相关法律法规中关于犯罪记录、刑罚执行、前科消灭等方面的规定。但这些规定通常不直接涉及劳动合同的解除问题。
三、实际操作建议
审查劳动合同：
- 单位应首先审查当前续签的劳动合同中是否有关于犯罪记录与劳动合同解除的约定。如果有明确约定，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么单位可以依据该约定来解除劳动合同。
评估犯罪记录的影响：
- 如果劳动合同中没有相关约定，或者约定不明确，那么单位应评估犯罪记录对当前劳动合同履行的影响。如果犯罪记录与当前工作无直接关联，且劳动者已经接受了相应的刑罚或处罚，那么单位通常不能仅凭此记录来解除劳动合同。
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遵循合法程序：
- 如果单位决定解除劳动合同，应确保解除程序的合法性和合理性。例如，提前通知劳动者、支付经济补偿（如适用）、办理离职手续等。
总结来说，单位不能仅凭十年前上一份劳动合同期内的犯罪记录来解除当前续签的劳动合同，除非劳动合同中有明确约定且该约定不违反法律法规的强制性规定，或者犯罪记录对当前劳动合同的履行产生了严重影响。在实际操作中，单位应谨慎评估犯罪记录的影响，并遵循合法程序来解除劳动合同。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。