结论前置：连续签订三次劳动合同到期后，用人单位不续签的情况涉及劳动合同终止、经济补偿及无固定期限劳动合同的签订等多个法律问题。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在特定情况下需支付经济补偿或赔偿金，劳动者也有权采取多种措施维护自身权益。
一、劳动合同终止与续签的法律分析
劳动合同终止：
- 根据《劳动合同法》第四十四条第一项，劳动合同期满即行终止。若用人单位与劳动者未达成续签合意，劳动合同自然终止。但需注意，若劳动者已符合签订无固定期限劳动合同的条件，用人单位单方终止合同可能构成违法解除。
续签条件与无固定期限劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第十四条，劳动者已连续订立二次固定期限劳动合同，且不存在第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形时，续订劳动合同应订立无固定期限劳动合同，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同。这意味着，在第三次合同到期时，若劳动者未提出异议，且符合上述条件，用人单位应主动提出续签无固定期限劳动合同。
二、经济补偿与赔偿金的计算
用人单位提出不续签：
- 若用人单位提出不与劳动者续签劳动合同，根据《劳动合同法》第四十六条第五项，用人单位应向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。计算公式为：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资。
劳动者符合无固定期限劳动合同条件而用人单位拒绝续签：
- 在此情况下，用人单位属于违法终止劳动合同。根据法律规定，用人单位应支付劳动者赔偿金，标准为每工作一年支付两个月工资的经济补偿。计算公式为：赔偿金 = 工作年限 × 2 × 月工资。
劳动者提出不续签：
- 若劳动者自己提出不再续签劳动合同，且用人单位提供的劳动条件未降低，则用人单位无需支付经济补偿。
三、劳动者维权途径与建议
协商：
- 首先尝试与用人单位进行友好协商，说明法律规定，要求用人单位按照法律规定续签劳动合同或支付相应的补偿。
劳动监察投诉：
- 若协商不成，劳动者可向当地劳动监察部门投诉举报，劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并责令其改正及支付补偿。
劳动仲裁：
- 劳动者还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等）以证明自己与用人单位的劳动关系及工作年限。仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决。
诉讼：
- 如对仲裁结果不满意，劳动者可在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径最终解决纠纷。
注意事项：
- 证据留存：保存所有合同、考勤记录、工资条等材料，以备不时之需。
- 及时维权：避免超过仲裁时效，通常为争议发生之日起一年内。
- 法律咨询：在复杂情况下，建议寻求专业律师的帮助，以便更好地处理与用人单位之间的纠纷。
四、典型案例参考
案例：李某与某公司连续签订两次三年期合同，第三次合同到期后公司以“业务调整”为由终止合同，未支付任何补偿。
- 结果：仲裁委认定公司违法解除，判决支付赔偿金（即18个月工资，假设李某工作9年）。
- 关键点：李某已符合签订无固定期限合同的条件，公司无权单方终止。
综上所述，连续签订三次劳动合同到期不续签的问题涉及多个法律知识点，包括劳动合同终止、经济补偿、无固定期限劳动合同的签订以及劳动者的维权途径。劳动者在面临此类情况时，应充分了解相关法律法规，并采取相应措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。