结论：当您与用人单位连续签订三次固定期限劳动合同后，若公司不续签，这一行为可能涉及违法终止劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金，或通过协商、劳动仲裁、诉讼等途径维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与权益分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形时，若劳动者提出或同意续订，应当订立无固定期限劳动合同。虽然法律未直接规定必须签订无固定期限劳动合同的次数上限，但基于该条款的立法精神，在连续签订三次固定期限劳动合同后，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同，前提是劳动者没有违反法律规定或严重失职等情形，且愿意继续签订劳动合同。
二、公司不续签的后果
违法终止劳动合同：如果公司在第三次劳动合同到期后拒绝续签，且您符合签订无固定期限劳动合同的条件（如无重大过错、愿意续订等），则公司的行为可能构成违法终止劳动合同。
支付赔偿金：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金的具体计算方式为：按照您在本单位的工作年限，每满一年支付两个月工资的标准向您支付。例如，如果您在公司工作了五年，则公司应支付您十个月的工资作为赔偿金。
三、劳动者的应对措施
与公司协商：首先，您可以尝试与公司进行协商，表达希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解公司不续签的具体原因。在协商过程中，您可以强调自己的合法权益和公司的法律责任。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认公司的终止行为违法，并要求其支付赔偿金。在申请仲裁时，您需要提供相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明自己的权益受到侵害。
提起诉讼：对仲裁结果不服的，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。在诉讼过程中，您需要遵循法院的诉讼程序，提供充分的证据支持自己的主张。
四、注意事项
保留证据：在整个过程中，您应注意保留相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、沟通记录等，以便在需要时证明自己的权益。这些证据将对您在劳动仲裁或诉讼中维护自己的权益起到关键作用。
及时维权：您应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内提起劳动仲裁或诉讼，以免超过时效期间而丧失胜诉权。及时维权是保护自己合法权益的重要手段。
了解法律程序：在维权过程中，您需要了解劳动仲裁和诉讼的法律程序，包括申请仲裁的时效、仲裁庭的组成、仲裁裁决的效力等。这些信息将有助于您更好地维护自己的权益。
作为吴礼强律师，我建议您在面对此类问题时，首先保持冷静，了解自己的法律权益和公司的行为是否合法。然后，根据具体情况采取相应的应对措施，如协商解决、申请劳动仲裁或提起诉讼等。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。