结论前置：连续签订三次劳动合同到期后，用人单位不续签的情况涉及劳动合同终止、经济补偿及无固定期限劳动合同的签订等多个法律问题。具体处理方式需根据实际情况判断，以下分情况详细说明。
一、劳动合同终止与续签条件
劳动合同终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项，劳动合同期满即行终止。若用人单位与劳动者未达成续签合意，劳动合同自然终止。
续签条件与无固定期限劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第十四条，劳动者已连续订立二次固定期限劳动合同，且不存在第三十九条（如严重违反规章制度）和第四十条第一项（如患病或非因工负伤不能胜任工作）、第二项（如不能胜任工作经培训或调整仍不能胜任）规定的情形时，续订劳动合同应订立无固定期限劳动合同，除非劳动者主动提出订立固定期限劳动合同。
- 这意味着，在第三次劳动合同到期时，若劳动者符合上述条件且未主动提出订立固定期限劳动合同，用人单位原则上应续签无固定期限劳动合同。
二、经济补偿与赔偿金
用人单位提出不续签：
- 若用人单位提出不与劳动者续签劳动合同，根据《劳动合同法》第四十六条第五项，用人单位应向劳动者支付经济补偿。
- 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资）。
- 示例：若劳动者工作满3年6个月，月工资为5000元，则经济补偿为：3.5 × 5000 = 17500元。
劳动者符合无固定期限劳动合同条件而用人单位拒绝续签：
- 在此情况下，用人单位属于违法终止劳动合同。根据法律规定，用人单位应支付劳动者赔偿金，标准为经济补偿的两倍。
- 计算公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿 = 2 × 工作年限 × 月工资。
- 示例：接上例，赔偿金为：2 × 17500 = 35000元。
劳动者提出不续签：
- 若劳动者自己提出不再续签劳动合同，且用人单位提供的劳动条件未降低，则用人单位无需支付经济补偿。
三、劳动者维权途径
协商：
- 首先尝试与用人单位进行友好协商，说明法律规定，要求用人单位按照法律规定续签劳动合同或支付相应的补偿。
劳动监察投诉：
- 若协商不成，劳动者可向当地劳动监察部门投诉举报，劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并责令其改正及支付补偿。
劳动仲裁：
- 劳动者还可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等）以证明自己与用人单位的劳动关系及工作年限。
- 仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决，裁决具有法律效力，双方需履行。
诉讼：
- 如对仲裁结果不满意，劳动者可在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径最终解决纠纷。
四、特殊情况与注意事项
用人单位存在合法解除情形：
- 若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条或第四十条第一项、第二项规定的情形，用人单位可以合法解除劳动合同或不续签，但需依法支付经济补偿金（如适用）。
证据保留：
- 劳动者在维权过程中应保留好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、沟通记录等，以证明自己的主张。
及时行动：
- 劳动者在发现用人单位存在违法行为时，应及时采取行动，避免超过法定时效期间（如劳动仲裁时效为一年）。
总结与建议：连续签订三次劳动合同到期不续签的问题涉及多个法律知识点，包括劳动合同终止、经济补偿、无固定期限劳动合同的签订以及劳动者的维权途径。劳动者在面临此类情况时，应充分了解相关法律法规，根据自身情况判断用人单位的行为是否合法，并采取相应措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。