结论：当您与用人单位连续签订三次固定期限劳动合同后，若合同到期用人单位不续签，这一行为可能涉及违法终止劳动合同，您有权要求用人单位支付赔偿金或主张签订无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与解释
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款第三项的规定：“用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：……（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。”
这意味着，在您与用人单位连续签订两次固定期限劳动合同后，如果您没有违反法律规定或严重失职等情形，且愿意继续签订劳动合同，用人单位应当与您签订无固定期限劳动合同。对于已经连续签订三次固定期限劳动合同的情况，虽然法律未直接规定必须签订无固定期限劳动合同的次数上限，但基于该条款的立法精神，您有权要求签订无固定期限劳动合同。
二、用人单位不续签的后果
违法终止劳动合同：如果用人单位在第三次劳动合同到期后拒绝续签，且您符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么用人单位的行为可能构成违法终止劳动合同。
赔偿金支付：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法终止劳动合同的，应当向您支付赔偿金。赔偿金的计算标准为经济补偿标准的两倍，即每满一年支付两个月工资的标准向您支付。例如，如果您在用人单位工作了9年6个月，那么赔偿金应为20个月工资（9.5年*2=19个月，但不满半年按一个月算，故为20个月）。
三、您的应对策略
主张签订无固定期限劳动合同：如果您希望继续留在用人单位工作，可以书面要求用人单位与您签订无固定期限劳动合同，并保留好沟通记录作为证据。
协商经济补偿方案：如果用人单位无意与您续签劳动合同，您可以与其协商经济补偿方案。通常，经济补偿金按每满一年支付一个月工资的标准计算，但您也可以争取更高的补偿，如N+1（额外一个月代通知金）等，具体需双方协商并书面确认。
申请劳动仲裁：如果用人单位拒绝支付赔偿金或拒绝与您签订无固定期限劳动合同，您可以在争议发生之日起一年内向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁时，您需要准备相关证据材料，如劳动合同、工资流水、终止通知、沟通记录等。
四、注意事项与建议
证据留存：在与用人单位沟通的过程中，务必保留好所有相关证据材料，如书面通知、邮件、短信、聊天记录等，以便在需要时证明自己的权益。
及时维权：劳动仲裁有一定的时效限制，通常为争议发生之日起一年内。因此，您需要及时行使自己的权利，避免超过仲裁时效。
法律咨询：如果您对法律程序或赔偿标准等存在疑问，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
示例：假设您与用人单位连续签订了三次三年期的固定期限劳动合同，第三次合同到期后用人单位以“经营调整”为由拒绝续签且未支付任何补偿。在这种情况下，您可以先书面要求用人单位支付赔偿金或签订无固定期限劳动合同。如果用人单位拒绝，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付赔偿金（如20个月工资）并承担仲裁费用。
最后，希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。