结论前置：第一次劳动合同到期后未续签书面劳动合同，在一定条件下劳动者是可以主张双倍工资差额的。具体是否支持，需根据未续签的原因及实际情况来判断。以下是对此问题的详细分析：
一、用人单位原因导致未续签
一般情况：
- 若劳动合同期满后，用人单位未与劳动者续签书面劳动合同，但劳动者继续在用人单位工作超过一个月不满一年的，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位应向劳动者每月支付二倍的工资。
- 例子：假设小李的劳动合同于2023年6月30日到期，但公司未与他续签合同，小李继续在公司工作至2023年12月31日。那么，从2023年8月1日起至2023年12月31日，公司应向小李支付双倍工资。
特殊情形（视为无固定期限劳动合同）：
- 若劳动者继续在用人单位工作超过一年且未续签书面劳动合同的，自满一年当日起，视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，用人单位应立即补订书面劳动合同，并从劳动合同期满后的次日起至满一年的前一日，向劳动者每月支付两倍的工资。
- 例子：如上述小李的情况，若他继续在公司工作至2024年6月30日仍未续签合同，则从2024年1月1日起至2024年6月30日（视为已订立无固定期限劳动合同的前一日），公司仍需向小李支付双倍工资。但自2024年7月1日起，双方视为已订立无固定期限劳动合同，公司无需再支付双倍工资，但应补订书面劳动合同。
经济补偿的支付：
- 需注意的是，劳动合同到期不续签并不总是涉及双倍工资。在某些情况下，如用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订的，用人单位无需支付经济补偿或双倍工资。但若用人单位降低条件或不同意续订，则需支付经济补偿。
二、劳动者原因导致未续签
- 若劳动者拒绝与用人单位续签劳动合同，且用人单位有证据证明已书面通知劳动者续签合同而劳动者不续签的，用人单位无需支付双倍工资，并可终止劳动关系，无需支付经济补偿。
- 例子：公司书面通知小李续签合同，但小李因个人原因拒绝续签，并继续在公司工作。此时，公司无需支付双倍工资，并可终止与小李的劳动关系。
三、双方协商一致不续签
- 若用人单位和劳动者经协商一致同意不续签劳动合同，用人单位通常无需支付双倍工资，但需按法律规定支付经济补偿（除非用人单位维持或提高条件而劳动者不同意续订）。
- 例子：公司与小李协商一致，决定不续签劳动合同，并达成经济补偿协议。此时，公司无需支付双倍工资，但需按协议支付经济补偿。
四、注意事项
时效限制：
- 劳动者主张双倍工资的仲裁时效为一年，从知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利，避免超过仲裁时效。
证据收集：
- 在主张双倍工资时，劳动者需要提供证据证明其与用人单位存在劳动关系以及未续签书面劳动合同的事实。例如，工资支付记录、考勤记录、工作证等。
协商与调解：
- 在提起劳动仲裁之前，劳动者可以尝试与用人单位进行协商或调解，以达成和解协议。这不仅可以节省时间和成本，还有助于维护双方的和谐关系。
总结与建议：劳动合同到期后未续签书面劳动合同，是否支持双倍工资差额，需根据未续签的原因及实际情况来判断。作为劳动者，应了解自己的权益，并在必要时及时主张；作为用人单位，应规范管理劳动关系，及时与劳动者签订或续签书面劳动合同，以避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。