结论前置：关于第二次续签劳动合同时未签订无固定期限劳动合同，之后是否一直支付双倍工资的问题，并非一直支付，而是有特定的支付条件和期限。具体来说，若符合法定条件，用人单位需自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资，但这一支付义务并非无限期延续。
法律依据与支付条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定明确了在特定条件下，用人单位需承担支付双倍工资的法律责任。
支付期限与计算方式
支付期限：
- 劳动者要求双倍工资的期限通常最长不能超过11个月。这是因为，若超过一年用人单位仍未与劳动者签订无固定期限劳动合同，则可视为双方已订立无固定期限劳动合同，此时对用人单位的二倍工资惩罚也应终止。
计算方式：
- 双倍工资的计算基数一般包括劳动者的基本工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入，但不包括加班工资。
- 计算期间从应当订立无固定期限劳动合同之日起，至补订书面劳动合同的前一日为止，但最多不超过11个月。
具体情形分析
第二次续签时符合订立无固定期限劳动合同条件但未签订：
- 若劳动者在用人单位连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
- 若用人单位违反此规定，劳动者有权自应当订立无固定期限劳动合同之日起主张双倍工资，但支付期限最长不超过11个月。
劳动合同期满后未续签但继续工作：
- 若第一次固定期限劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作，但用人单位超过一个月不满一年未与其续签书面劳动合同，劳动者有权主张自原合同到期满一个月的次日至满一年的前一日期间的双倍工资。
- 若用人单位自劳动合同期满之日起满一年仍未与劳动者续签书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，此时用人单位需支付自劳动合同期满一年的次日起的双倍工资，但同样最多不超过11个月（实际上，从期满一年之日起，已视为订立无固定期限劳动合同，双倍工资的支付应截止至补订合同前一日或按法律规定的其他截止点，但总期限不超过11个月的原则仍然适用）。
注意事项与实操建议
- 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从劳动者知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者在主张双倍工资时需注意时效问题，确保在一年内提出申请。
- 证据收集：为了支持自己的主张，劳动者应积极收集并保存相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明与用人单位存在劳动关系及未签订劳动合同的事实。
- 法律维权：在实际操作中，若遇到复杂情况或不确定如何维权，劳动者可直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
综上所述，第二次续签劳动合同时未签订无固定期限劳动合同，并不意味着用人单位会一直支付双倍工资。而是有特定的支付条件和期限，劳动者需根据自身情况和相关法律法规进行具体判断，并在必要时寻求法律帮助以维护自身合法权益。