结论前置：在符合法定条件的情况下，第二年未签劳动合同，劳动者确实可以主张双倍工资，但需注意支付期限和仲裁时效的限制。
一、法律依据与双倍工资支付规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：
- 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
这意味着，如果第一次劳动合同期满后，用人单位超过一个月不满一年未与劳动者续签书面劳动合同，劳动者有权主张双倍工资。同时，如果劳动者符合订立无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年或连续订立二次固定期限劳动合同等），而用人单位未与其订立，劳动者也有权自应当订立无固定期限劳动合同之日起主张双倍工资。
二、双倍工资支付期限与仲裁时效
支付期限：
- 对于第一次劳动合同期满后未续签的情况，双倍工资的支付期限是从原合同到期满一个月的次日至满一年的前一日，最长为11个月。
- 对于符合订立无固定期限劳动合同条件但未签订的情况，双倍工资的支付期限则从应当订立无固定期限劳动合同之日起计算。
仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从劳动者知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 在未签劳动合同的情形下，仲裁时效通常从用人单位不签订书面劳动合同的违法行为结束之次日起开始计算。因此，如果劳动者在第二年才发现未签劳动合同的情况，其主张双倍工资的时效可能已经部分或全部经过，但具体还需结合当地规定和实际情况进行判断。
三、不同情形下的详细分析
第一次劳动合同期满后未续签：
- 如果第一次固定期限劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作，但用人单位超过一个月不满一年未与其续签书面劳动合同，劳动者有权主张自原合同到期满一个月的次日至满一年的前一日期间的双倍工资。
- 如果用人单位自劳动合同期满后满一年仍未与劳动者续签书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，虽然不再适用双倍工资的罚则，但劳动者可以要求用人单位补签书面劳动合同以明确双方的权利和义务。
符合订立无固定期限劳动合同条件但未签订：
- 如果劳动者在用人单位连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
- 若用人单位违反此规定未与劳动者订立无固定期限劳动合同，劳动者有权自应当订立无固定期限劳动合同之日起主张双倍工资。但同样需要注意仲裁时效的限制。
四、注意事项与实操建议
- 及时主张权益：劳动者在发现用人单位未与其签订劳动合同后，应及时主张自己的权益，避免超过仲裁时效。
- 收集证据：为了支持自己的主张，劳动者应积极收集并保存相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明与用人单位存在劳动关系及未签订劳动合同的事实。
- 法律途径维权：如果用人单位拒绝支付双倍工资或补签书面劳动合同，劳动者可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
举例说明：假设小李的劳动合同于2023年1月1日期满，之后继续在用人单位工作至2024年2月都未续签合同。如果小李在2024年3月发现未签合同的情况并主张双倍工资，那么根据法律规定和仲裁时效的限制，小李可能只能主张2023年2月1日至2023年12月31日期间的双倍工资（如果未超过仲裁时效的话）。
综上所述，第二年未签劳动合同在符合法定条件的情况下劳动者可以主张双倍工资，但需注意支付期限和仲裁时效的限制。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。