结论：您因单位未缴纳社保且下岗补偿问题，完全有权向劳动仲裁机构申请仲裁，且需重点关注社保补缴、经济补偿等核心诉求。以下从法律适用、仲裁流程、证据准备三个维度为您详细分析：
一、法律层面：单位未缴社保属违法行为，您有权主张补缴及赔偿
根据《社会保险法》第58条、第60条，用人单位必须自用工之日起30日内为员工办理社保登记并缴纳社保费用，未缴纳社保属于违法行为，您有权要求单位补缴。
同时，若单位因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗、养老等），您可依据《劳动合同法》第38条、第46条，以“未依法缴纳社保”为由解除劳动合同，并主张经济补偿金（按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，6年即6个月工资）。
需注意：若单位已与您协商一致不缴社保（如以现金补贴代替），该约定因违反法律强制性规定而无效，您仍可主张补缴。
二、仲裁流程：需在1年内提出申请，重点准备3类证据
- 劳动关系证明：劳动合同、工资条、考勤记录、工作证、同事证言等，证明您与单位存在劳动关系及工作年限（6年）。
- 社保未缴证据：社保缴费记录（可通过“国家社会保险公共服务平台”或当地社保局查询）、单位未办理社保登记的证明（如社保局出具的“未参保查询结果”）。
- 下岗补偿依据：单位支付的13000元补偿的转账记录、收据、解除劳动合同协议（如有），证明补偿金额及性质（是否包含经济补偿金）。
流程提示：
- 向单位所在地或劳动合同履行地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请（需填写《仲裁申请书》并附证据清单）；
- 仲裁委受理后，一般会在45日内结案（复杂案件可延长15日）；
- 若对仲裁结果不服，可在15日内向法院起诉。
三、关键风险提示：需区分“下岗补偿”与“经济补偿金”
您提到的“下岗单位补给13000元”，需明确该款项性质：
- 若13000元是单位主动支付的经济补偿金，但金额低于法定标准（6个月工资），您可主张补足差额；
- 若13000元是单位单方面支付的“生活补助”或其他名义款项，与经济补偿金无关，您仍可依据《劳动合同法》主张6个月工资的经济补偿金，同时要求补缴社保。
建议行动：
- 立即整理劳动关系、社保未缴、下岗补偿的证据；
- 向当地劳动仲裁委提交仲裁申请，诉求包括：补缴6年社保、支付经济补偿金（若未足额支付）、确认劳动关系解除；
- 若单位拒绝配合，可同步向社保局投诉要求强制征缴社保。
如有其他细节需补充（如单位是否出具解除通知、补偿款是否签收等），可进一步向我说明，我会为您细化分析。