可以写申请赔偿。当工厂解除劳动合同并辞退你时，你有权根据法律规定向工厂提出赔偿申请，具体分析如下：

1. 合法解除劳动合同的情况：如果工厂解除劳动合同是合法的，比如你存在严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等情形，或者工厂依据《劳动合同法》第四十条的规定，因客观情况发生重大变化而解除合同，且提前三十日以书面形式通知了你或者额外支付了一个月工资，那么工厂通常不需要支付赔偿金，但可能需要支付经济补偿金。经济补偿金的标准是按照你在工厂工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向你支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向你支付半个月工资的经济补偿。在这种情况下，你仍然可以写申请，但申请的内容应是要求工厂支付经济补偿金，而非赔偿金。

2. 违法解除劳动合同的情况：如果工厂解除劳动合同是违法的，比如没有合法理由就辞退你，或者解除合同的程序不合法，那么你有权要求工厂支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿金的两倍。在这种情况下，你写申请时，应明确要求工厂支付赔偿金，并详细说明工厂违法解除劳动合同的事实和理由。

建议：

• 在写申请之前，先收集好相关证据，比如劳动合同、工资单、辞退通知等，以证明你与工厂的劳动关系以及工厂解除劳动合同的事实。
• 写申请时，要清晰、明确地表达你的诉求和理由，最好附上相关证据材料。
• 如果工厂拒绝支付赔偿金或经济补偿金，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

如果你在写申请或处理劳动争议过程中遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律指导和帮助。