作为律师，我理解您主要关注的是在名下有公司且雇佣员工的情况下，若发生损害或纠纷，公司应如何承担赔偿责任的问题。核心前提是您作为公司雇主，与员工之间存在劳动关系，需根据具体情况确定赔偿方式和责任范围。以下分情况说明：

1. 员工因工作遭受人身伤害（如工伤）
   根据《工伤保险条例》及《社会保险法》，公司需为员工缴纳工伤保险。若员工发生工伤，赔偿流程如下：

   • 工伤保险基金支付：医疗费、康复费、一次性伤残补助金等由工伤保险基金承担；
     
   • 公司承担部分：停工留薪期工资、护理费、伤残津贴（若未缴工伤保险则全部由公司承担）、一次性就业补助金（解除劳动合同时支付）。
     关键点：若公司未缴工伤保险，所有赔偿均由公司自行承担，且可能面临劳动监察部门处罚。

2. 员工因工作造成第三方损害（如员工执行任务时撞伤他人）
   根据《民法典》第1191条，公司作为用人单位需承担替代责任（即员工因执行工作任务造成他人损害的，由公司赔偿）。但若员工存在故意或重大过失，公司赔偿后可向其追偿。
   示例：员工驾驶公司车辆送货时发生交通事故，公司需先赔偿第三方损失，再根据员工过错程度决定是否追偿。

3. 员工与公司之间的普通侵权纠纷（如职场性骚扰、殴打等）
   若损害非因工作本身引起，而是员工个人行为导致（如同事间打架），则适用《民法典》侵权责任编，由侵权人（员工）直接承担赔偿责任，公司一般无需担责。但若公司未尽到安全管理义务（如未安装监控、未及时制止冲突），可能需承担补充责任。

4. 公司违法解除劳动合同的赔偿
   若公司违法辞退员工，需支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍，经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资）。
   例外：若员工存在严重违纪等法定情形，公司可合法解除且无需赔偿。

建议行动：

• 立即核查公司是否为员工足额缴纳工伤保险，避免漏缴风险；
  
• 完善公司规章制度，明确员工行为规范及违纪处理流程；
  
• 发生纠纷后，第一时间固定证据（如工伤认定申请、监控录像、劳动合同等），并咨询专业律师制定应对方案。
  

若有具体案件细节（如伤害类型、员工行为性质等），可进一步向我说明，我会结合事实为您分析责任比例及赔偿方案。