结论：即使老年人没有签订劳动合同，在为单位工作期间受伤，单位仍可能需要承担赔偿责任。具体是否承担责任及责任大小，需根据实际情况和法律规定综合判断。

分析说明：

1. 劳动关系与劳动合同的关系：

   • 劳动合同是确立劳动关系的法律文件，但并非唯一依据。根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》，即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（如劳动者实际接受用人单位的管理、指挥与监督，用人单位向劳动者支付工资性劳动报酬等），即可认定劳动关系存在。
   • 因此，老年人虽未签订劳动合同，但若实际为单位工作，接受单位管理，并领取报酬，则双方构成事实劳动关系。

2. 工伤认定的条件：

   • 根据《工伤保险条例》，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应认定为工伤。这一规定并未将签订劳动合同作为工伤认定的前提条件。
   • 老年人作为事实劳动关系中的职工，在工作时间和工作场所内因工作原因受伤，同样有权申请工伤认定。

3. 单位的赔偿责任：

   • 一旦工伤认定成立，单位需按照《工伤保险条例》的规定承担赔偿责任，包括支付医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
   • 若单位未为老年人缴纳工伤保险费，则所有工伤保险待遇均由单位承担。

4. 特殊情况下的责任承担：

   • 如果老年人已达到法定退休年龄（如男性60周岁，女性55周岁或50周岁，具体根据当地规定），且已享受养老保险待遇或领取退休金，则其与单位之间可能构成劳务关系而非劳动关系。在此情况下，受伤可能不按工伤处理，但单位仍可能需根据《民法典》中的侵权责任规定承担赔偿责任。
   • 如果老年人虽达到退休年龄但未享受养老保险待遇或领取退休金，且继续为单位工作，则可能仍被认定为劳动关系，单位需承担工伤赔偿责任。

行动建议：

1. 收集证据：老年人或其家属应尽快收集能够证明事实劳动关系存在的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
2. 申请工伤认定：在受伤后及时向当地社会保险行政部门申请工伤认定，这是获得工伤保险待遇的前提。
3. 协商或诉讼：若单位拒绝承担赔偿责任，老年人或其家属可先与单位协商解决；协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。

法律依据：

• 《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》
• 《工伤保险条例》
• 《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定

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