结论：新员工在厂里被辞退且没有签订劳动合同的情况下，仍然享有法律赋予的权益，可以要求用人单位支付工资，并可能根据具体情况主张经济补偿或赔偿金。
一、劳动关系的确认与证据收集
确认劳动关系：
- 即使没有签订书面劳动合同，只要劳动者实际提供了劳动并接受了用人单位的管理，就形成了事实劳动关系。
证据收集：
- 工资支付凭证：如银行流水、工资条等，这些能证明用人单位支付了工资。
- 工作证件与考勤记录：工作证、门禁卡、考勤表等，这些能证明劳动者在用人单位的出勤情况。
- 工作沟通记录：如电子邮件、工作群聊天记录等，这些能体现劳动者的工作内容和职责。
- 同事证言：如果有同事愿意为劳动者作证，证实劳动关系和辞退事实，这也是有力的证据。
二、法律权益与赔偿主张
工资支付：
- 劳动者有权要求用人单位支付实际工作期间的工资，这是最基本的权益。
经济补偿或赔偿金：
- 经济补偿：如果用人单位无正当理由辞退劳动者，或违反法定程序解除劳动合同，劳动者有权要求经济补偿。经济补偿的标准按《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条执行，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金：如果用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金，这是根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定。
具体计算（以工作两天为例，假设月工资为X元）：
- 经济补偿：由于工作不满六个月，应支付半个月工资的经济补偿，即X/2元（但实际工作中两天，此部分可能因金额较小而更多通过协商解决，法律上仍支持此权利）。
- 赔偿金：若构成违法解除，则赔偿金为经济补偿的两倍，即X元（但同样，实际中可能因工作天数少而调整处理方式）。
- 重点说明：虽然劳动者仅工作两天，但法律对于未签订劳动合同和违法解除劳动合同的规定，为劳动者提供了主张权益的依据。具体金额虽可能不大，但法律原则和权利不容忽视。
三、维权途径
与用人单位协商：
- 在收集好证据后，首先尝试与用人单位友好协商，要求其支付工资、经济补偿或赔偿金。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动监察部门提交书面投诉材料，请求其介入调查并依法处理。
申请劳动仲裁：
- 若劳动监察部门的处理未能满足劳动者的诉求，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过仲裁程序维护自己的合法权益。
提起诉讼：
- 如果劳动者或用人单位对仲裁结果不服，可在规定期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼，通过司法程序解决争议。
四、注意事项
- 时效问题：劳动仲裁和诉讼均有时效限制，劳动者应在法定期限内采取行动。
- 保持冷静与理性：在整个维权过程中，劳动者应保持冷静与理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免对权益维护造成不利影响。
作为吴金荣律师，我建议你在遇到此类情况时，首先收集好相关证据，然后尝试与用人单位协商解决。如果协商无果，可以及时向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。