结论：若工厂未与员工签订书面劳动合同且无正当理由辞退员工，员工通常有权获得双倍工资赔偿及违法解除劳动关系的赔偿金。具体赔偿金额和情形需依据实际情况计算确定。以下是对此问题的详细分析：

一、未签订书面劳动合同的法律责任

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当在一个月内订立书面劳动合同。若工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与员工订立书面劳动合同，员工有权要求工厂支付从第二个月起至满一年期间的双倍工资，最多可支付11个月。

计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × (应签未签月数 - 1)

示例：若员工月工资为5000元，工作了8个月一直未签订劳动合同，则从第2个月开始到第8个月，员工可以要求工厂支付7个月的双倍工资差额，即5000元 × 7 = 35000元。

二、违法解除劳动关系的赔偿责任

若工厂无正当理由辞退员工，构成违法解雇，应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计，不满六个月的支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = 月工资 × 工作年限 × 2（若工作年限不足半年按0.5计算，半年至一年按1计算，以此类推）

示例：若员工在工厂工作了3年，月平均工资为5000元，工厂无正当理由辞退员工，则需支付赔偿金为5000元 × 3 × 2 = 30000元。

三、合法解除与无需赔偿的情况

当然，也存在一些特定情形下工厂可以合法解雇员工且无需支付赔偿金，如员工严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等。但即便如此，工厂仍需考虑未签合同的双倍工资责任。

四、证明事实劳动关系与维权途径

尽管未签订劳动合同，但只要能证明存在事实劳动关系（如通过工资记录、考勤记录、工作证、同事证言等），员工依然有权获得上述补偿。若与工厂就补偿问题无法协商一致，员工可通过以下途径维权：

1. 向当地劳动监察部门投诉：请求调查处理工厂的违法行为。
2. 向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁：要求支付未签劳动合同的双倍工资、违法解除劳动关系的赔偿金等。仲裁时效期间为一年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
3. 向人民法院提起诉讼：如对仲裁结果不服，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

五、注意事项

• 时效问题：员工在维权过程中应特别注意时效问题，确保在规定的期限内提起劳动仲裁或诉讼。
• 证据收集：建议员工在平时注意收集与工作相关的证据，如工资条、考勤记录、工作证等，以便在维权时能够证明事实劳动关系的存在。

综上所述，若工厂未与员工签订书面劳动合同且无正当理由辞退员工，员工通常有权获得双倍工资赔偿及违法解除劳动关系的赔偿金。员工应充分了解自己的权益和维权途径，并在必要时直接向我咨询，以确保自身权益得到有效维护。