结论前置：工厂与员工没签劳动合同却辞退员工，工厂是需要进行赔偿的。下面我从不同角度为你详细分析：

未签劳动合同的法律后果

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果工厂没有与员工签订劳动合同，从用工的第二个月起，就需要向员工支付双倍工资作为赔偿。

举例说明：假设员工在工厂工作了6个月，但工厂一直未与其签订劳动合同。那么，工厂除了需要支付员工这6个月的正常工资外，还需要额外支付5个月的工资作为赔偿（因为第一个月不需要支付双倍工资）。

辞退员工的法律后果

如果工厂在没有合法理由的情况下辞退员工，这属于违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

经济补偿标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

赔偿金计算：违法解除劳动合同的赔偿金就是经济补偿标准的二倍。例如，员工在工厂工作了2年，月工资为5000元。如果工厂违法辞退员工，那么需要支付的赔偿金就是：\(5000元/月 \times 2个月 \times 2 = 20000元\)。

综合情况分析

如果工厂既没有与员工签订劳动合同，又违法辞退了员工，那么工厂需要承担的法律责任就是上述两项责任的总和。即，工厂需要支付未签劳动合同的双倍工资差额，以及违法解除劳动合同的赔偿金。

具体计算（以前述例子为基础）：

• 未签劳动合同的双倍工资差额：\(5000元/月 \times 5个月 = 25000元\)（假设员工工作了6个月）
• 违法解除劳动合同的赔偿金：20000元（如上所述）
• 工厂总共需要支付的金额：\(25000元 + 20000元 = 45000元\)

建议与提醒

1. 保留证据：员工在遭遇此类情况时，应尽可能保留与工厂的用工关系证明，如工资条、工作证、考勤记录等，以便在维权时提供有力证据。
2. 及时维权：员工应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
3. 咨询专业律师：虽然我在这里为你提供了一些基本的法律知识和建议，但每个案件的具体情况都有所不同。如果你在实际操作中遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供更详细的法律指导和帮助。

希望以上分析能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。