关于工厂与员工签劳动合同后辞退是否需要赔偿的问题，结论如下：

1. 若工厂合法辞退员工且员工无过错，通常需支付经济补偿；
2. 若员工存在过错，工厂无需支付经济补偿；
3. 若工厂违法辞退员工，则需支付赔偿金，通常为经济补偿标准的二倍。

详细分析如下：

一、合法辞退且需支付经济补偿的情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律规定，若工厂辞退员工属于以下情形，虽合法但需支付经济补偿：

• 双方协商一致解除合同：工厂与员工通过协商达成一致意见，解除劳动合同。此时，工厂需按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
• 劳动者患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由工厂另行安排的工作。此时，工厂同样需支付经济补偿。
• 劳动者不能胜任工作：员工经过培训或者调整工作岗位后，仍不能胜任工作。工厂在辞退时，也需支付经济补偿。
• 客观情况重大变化：劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化（如企业转型、市场变化等），致使劳动合同无法履行，且经工厂与员工协商未能就变更劳动合同内容达成协议。在此情形下，工厂辞退员工也需支付经济补偿。
• 经济性裁员：工厂因生产经营发生严重困难、企业破产重整等原因进行经济性裁员，并已履行法定程序（如提前通知工会、向劳动部门报告）。此时，工厂也需向被裁员工支付经济补偿。

经济补偿的计算公式： \(经济补偿 = 工作年限 \times 月平均工资\) 其中，月平均工资按解除劳动合同前十二个月的平均工资计算。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

二、合法辞退且无需支付经济补偿的情形

若员工存在以下情形之一，工厂辞退时无需支付经济补偿或赔偿：

• 试用期不符合录用条件：员工在试用期内被证明不符合录用条件，且工厂能提供明确的录用条件标准及相应的考核证据。
• 严重违反规章制度：员工严重违反工厂的规章制度，如旷工、盗窃、打架斗殴等，对工厂造成重大损害。
• 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职、渎职或营私舞弊给工厂造成重大经济损失或声誉损害。
• 被依法追究刑事责任：员工因触犯刑法被判刑，导致无法继续履行劳动合同。

三、违法辞退需支付赔偿金的情形

如果工厂辞退员工不符合上述合法辞退情形，即属于违法解除劳动合同（如无理由突然辞退员工），那么工厂需要按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

赔偿金的计算公式： \(赔偿金 = 经济补偿 \times 2 = 工作年限 \times 月平均工资 \times 2\)

四、特殊提醒：未签订劳动合同的双倍工资赔偿

若工厂与员工未签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，工厂还需承担额外的法律责任。即自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，若员工在工厂工作了数月而未签合同，工厂需支付从第二个月开始至满一年（或实际工作满的月数，但不超过11个月）的额外一倍工资作为赔偿。

举例说明： 假设员工在工厂工作了8个月未签合同，且月平均工资为5000元。若工厂此时无理由辞退员工，则员工不仅有权要求工厂支付7个月的双倍工资差额（即\(5000元/月 \times 7月 = 35000元\)的额外赔偿），还有权要求工厂支付违法解除劳动关系的赔偿金（即\(工作年限（按1年算，因8个月满6个月） \times 月平均工资 \times 2 = 1 \times 5000元/月 \times 2 = 10000元\)）。因此，工厂总共需支付45000元的赔偿。

建议： 工厂在用工前应及时与员工签订书面劳动合同，以避免潜在的法律风险。同时，在辞退员工时，应谨慎考虑辞退行为的合法性，确保符合法律规定，以免面临支付经济赔偿金和双倍工资的法律责任。员工在遇到此类问题时，也可直接向我咨询，以维护自己的合法权益。