工厂在未签订劳动合同的情况下辞退员工，员工在符合法定条件时是有权获得相应补偿的，具体包括双倍工资赔偿及可能的违法解除劳动关系赔偿金。以下是对此问题的详细分析：

一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果工厂在员工入职后超过一个月仍未签订劳动合同，员工有权要求工厂支付从第二个月起至满一年期间的双倍工资，最多可支付11个月。

举例说明：假设员工在工厂工作了8个月，一直未签订劳动合同。那么，从第2个月开始到第8个月，员工可以要求工厂支付7个月的双倍工资差额。

二、违法解除劳动关系的赔偿金

如果工厂辞退员工的行为被认定为违法解除劳动合同（如无正当理由解雇），则依据《劳动合同法》第八十七条，工厂需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计，不满六个月的支付半个月工资。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

赔偿金计算公式： \(赔偿金 = 经济补偿标准 \times 2\) \(经济补偿标准 = 工作年限 \times 月平均工资\)（工作年限中，六个月以上不满一年的按一年计，不满六个月的支付半个月工资）

举例说明：假设员工在工厂工作了3年，月平均工资为5000元。若工厂无理由辞退员工，则需支付赔偿金为：\(3年 \times 5000元/月 \times 2 = 30000元\)。

三、合法解除与无需赔偿的情况

当然，也存在工厂合法解除劳动合同且无需支付赔偿金的情况。如员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等情形，工厂可以合法解雇且无需支付赔偿金（但仍需考虑未签合同的双倍工资责任）。

四、证明事实劳动关系与维权途径

尽管未签订劳动合同，但只要能证明存在事实劳动关系（如通过工资记录、考勤记录、工作证等），员工依然有权获得上述补偿。若与工厂就补偿问题无法协商一致，员工可通过以下途径维权：

1. 向当地劳动监察部门投诉：请求调查处理工厂的违法行为。
2. 向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁：要求支付未签劳动合同的双倍工资、违法解除劳动关系的赔偿金等。仲裁时效期间为一年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
3. 向人民法院提起诉讼：如对仲裁结果不服，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。

五、注意事项

• 员工在维权过程中应特别注意时效问题，确保在规定的期限内提起劳动仲裁或诉讼。
• 建议在维权前充分收集证据，以证明存在事实劳动关系及工厂的违法行为。

综上所述，工厂在未签订劳动合同的情况下辞退员工，员工在符合法定条件时是有权获得相应补偿的。员工应充分了解自己的权益和维权途径，并在必要时寻求我的专业法律帮助以确保自身权益得到有效维护。