舞蹈机构没有开发票是违法的。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从税务法规角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。舞蹈机构作为提供舞蹈培训服务的经营者，在收取学员费用时，有义务开具发票。如果未开具，就违反了这一规定，税务机关可以责令其限期改正，并可处以一定金额的罚款。

2. 从消费者权益保护角度
   发票是消费者维权的重要凭证。当消费者在舞蹈机构遇到服务质量问题、机构突然停业等纠纷时，发票可以作为证明消费关系存在的关键证据。如果舞蹈机构不开发票，消费者的合法权益在受到侵害时，可能会因为缺乏有效证据而难以得到保障。从维护消费者权益的角度来看，舞蹈机构不开发票的行为也是不合理的，间接损害了消费者的正当权益。

3. 从机构自身合规经营角度
   开具发票是舞蹈机构合规经营的重要体现。规范开具发票有助于机构准确核算收入和成本，进行合理的税务筹划，避免税务风险。如果长期不开发票，可能会导致机构财务数据不真实，影响其自身的经营决策和发展。同时，一旦被税务机关查处，不仅会面临罚款等处罚，还可能对机构的声誉造成负面影响，进而影响其业务开展。

如果遇到舞蹈机构不开发票的情况，你可以先与机构沟通，要求其开具发票。如果机构拒绝，你可以向当地税务机关举报，税务机关会依法进行处理。要是你在这个过程中还有其他疑问，或者涉及到其他法律问题，都可以直接向我咨询。