舞蹈培训学校在没有协议、合同和发票的情况下运营，确实存在违法风险。以下从不同角度为您详细分析：

1. 合同关系角度

• 法律要求：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。虽然口头合同也具有法律效力，但在发生纠纷时，书面合同能更清晰地证明双方的权利和义务，减少争议。
• 风险分析：舞蹈培训学校与学员或家长之间未签订书面合同，一旦发生纠纷（如学费退还、课程质量、学员受伤等），双方可能因缺乏明确的合同条款而难以界定责任，增加维权难度。

2. 税务发票角度

• 法律要求：根据《中华人民共和国税收征收管理法》和《中华人民共和国发票管理办法》的规定，单位和个人在购销商品、提供或者接受服务以及从事其他经营活动中，应当按照规定开具、使用、取得发票。
• 风险分析：舞蹈培训学校未向学员或家长开具发票，可能涉嫌偷税漏税。税务机关一旦查实，学校可能面临罚款、滞纳金等行政处罚，甚至可能影响学校的信誉和正常运营。

3. 消费者权益保护角度

• 法律要求：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的规定，消费者享有知悉其购买、使用的商品或者接受的服务的真实情况的权利，以及公平交易的权利。
• 风险分析：舞蹈培训学校未提供书面合同和发票，可能侵犯了消费者的知情权和公平交易权。学员或家长在不知情的情况下接受服务，一旦发生问题，可能难以维护自己的合法权益。

4. 建议与措施

• 签订书面合同：舞蹈培训学校应与学员或家长签订书面合同，明确双方的权利和义务，包括课程安排、学费标准、退费政策等，以减少纠纷的发生。
• 开具正规发票：学校应按照规定向学员或家长开具正规发票，确保税务合规，同时保护消费者的合法权益。
• 完善内部管理：学校应建立健全内部管理制度，包括合同管理、财务管理等，确保运营规范、合法。

总结来看，舞蹈培训学校在没有协议、合同和发票的情况下运营，不仅可能面临法律风险，还可能损害学员或家长的合法权益。因此，学校应尽快完善相关手续，确保运营合法合规。如果您在合同纠纷或金融保险（税务及发票）方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。