针对您提出的“培训机构不签合同不开发票属于什么违法”的问题，我将从法律层面进行详细分析，并给出相应的解答。
一、不签合同的违法性
与消费者关系：
- 根据《民法典》的相关规定，民事主体之间订立合同可以采用书面、口头或其他形式。虽然口头合同也具有法律效力，但书面合同能够更明确地界定双方的权利和义务，在发生纠纷时更便于维权。
- 如果培训机构与消费者建立了服务关系，却未签订书面合同，这实际上违反了《民法典》中关于合同订立形式的规定，尤其是当这种不签合同的行为导致消费者权益无法得到有效保障时，培训机构的做法就构成了违法。
与员工关系：
- 如果培训机构与员工建立了劳动关系，却未按照《劳动合同法》的规定签订书面劳动合同，那么培训机构的行为同样违法。
- 根据《劳动合同法》，用人单位自用工之日起应与劳动者签订书面劳动合同。未签订的，用人单位可能需要向劳动者支付双倍工资，甚至在满一年不签的情况下，视为已订立无固定期限劳动合同。
二、不开发票的违法性
违反税收征管规定：
- 根据《中华人民共和国税收征收管理法》及其实施细则，提供服务的单位和个人在收取款项后，有义务向付款方开具发票。
- 培训机构未开具发票，可能导致税务机关无法准确掌握其收入情况，涉嫌偷税漏税。这种行为将面临税务处罚，包括补缴税款、加收滞纳金以及罚款等。
侵害消费者权益：
- 依据《中华人民共和国消费者权益保护法》，消费者享有获得发票等购货凭证或服务单据的权利。
- 发票是消费者接受服务的重要凭证，对于后续退换货、维权等方面具有关键作用。培训机构不开发票，直接侵害了消费者的合法权益，特别是在保障服务质量和财务报销方面。
三、应对建议
与培训机构协商：
- 首先，您可以尝试与培训机构进行友好沟通，明确指出不签合同和不开发票是违法的，也是您的合法权益。
- 保留相关证据，如付款记录、沟通记录等，以备后续可能的维权需要。
向相关部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地税务机关进行举报，拨打税务热线12366或前往办税服务厅进行实名或匿名举报。
- 同时，您也可以向当地的消费者协会投诉，请求介入调查和调解。
寻求法律途径：
- 必要时，您可以咨询或聘请律师，通过法律途径维护自身权益，确保问题得到妥善解决。
综上所述，培训机构不签合同不开发票的行为不仅违反了税收征管规定和消费者权益保护法，还可能对消费者和培训机构自身都带来严重的风险。因此，我建议您依法维权，同时培训机构也应加强合规管理，确保合法经营。