培训机构交钱不给发票是违法的。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从税务法规角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。培训机构作为提供教育服务的经营者，收取学员费用后必须开具发票，否则属于“应开而未开发票”的违法行为，税务机关可责令改正并处1万元以下罚款，情节严重的可能面临更高处罚。

2. 从消费者权益保护角度
   《消费者权益保护法》第二十二条明确规定，经营者提供商品或服务，应当按照国家有关规定或商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或服务单据。发票是消费者维权的重要凭证，若培训机构拒绝开具发票，消费者有权向税务部门举报（拨打12366纳税服务热线），或通过市场监管部门投诉（拨打12315），要求机构补开发票并承担相应责任。

3. 从合同履行角度
   若学员与培训机构签订的合同中明确约定“收费后需开具发票”，则机构拒开发票的行为构成违约。学员可依据《民法典》第五百七十七条，要求机构继续履行（补开发票）、赔偿损失（如因未开发票导致无法报销的损失），甚至解除合同并主张退款。

建议行动步骤：

1. 再次要求培训机构补开发票，并明确告知其违法后果；
   
2. 若机构拒绝，保留缴费凭证（如转账记录、收据）、合同等证据，向当地税务机关举报；
   
3. 若涉及金额较大或存在其他纠纷（如教学质量问题），可同步通过法律途径维权。
   

如有进一步细节需要分析（如机构以“优惠”为由拒开发票、发票内容与实际服务不符等），可直接向我咨询。