培训机构不开发票是违法行为，这一结论基于我国现行的税收征管规定和消费者权益保护法。以下是对此问题的详细分析：
一、法律层面分析
违反税收征管规定：
- 根据《中华人民共和国税收征收管理法》及其实施细则，以及《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，提供服务的单位和个人在收取款项后，有明确的法定义务向付款方开具发票。培训机构作为服务提供者，在收取培训费用后，必须开具发票，这是其法定义务，也是税务机关进行税收征管的重要依据。
- 若培训机构未开具发票，可能导致税务机关无法准确掌握其收入情况，涉嫌偷税漏税。这种行为将面临税务机关的处罚，包括补缴税款、加收滞纳金以及罚款等，严重者还可能承担刑事责任。
侵害消费者权益：
- 依据《中华人民共和国消费者权益保护法》，消费者在购买商品或接受服务时，享有获得发票等购货凭证或服务单据的权利。发票是消费者接受服务的重要凭证，对于后续退换货、维权以及财务报销等方面具有关键作用。
- 培训机构不开发票，直接侵害了消费者的合法权益。消费者在遇到服务质量问题或需要退费时，可能因缺乏发票而难以证明消费事实，增加维权难度。同时，对于需要财务报销的消费者来说，没有发票也可能导致无法报销，需要自行承担费用。
二、可能带来的风险
对消费者的风险：
- 难以证明消费事实，增加维权难度。在出现纠纷时，发票是消费者维权的重要证据之一。没有发票，消费者可能面临举证困难的问题。
- 无法作为财务报销的凭证。对于需要财务报销的消费者来说，发票是必不可少的报销凭证。没有发票，可能导致消费者无法报销相关费用。
对培训机构的风险：
- 面临税务机关的处罚。如前所述，培训机构不开发票可能涉嫌偷税漏税，将面临税务机关的处罚，包括补缴税款、加收滞纳金以及罚款等。
- 损害机构信誉。不开发票的行为可能让消费者对培训机构的信誉产生质疑，影响机构的招生和经营。
三、应对建议
与培训机构协商解决：
- 消费者可以首先尝试与培训机构进行友好沟通，明确告知其开具发票是法定义务，也是消费者的合法权益。要求培训机构尽快开具发票，并保留好相关证据，如培训合同、付款记录等。
向税务机关举报：
- 如果协商无果，消费者可以向当地税务机关进行举报。可以拨打税务热线12366或前往办税服务厅进行实名或匿名举报。在举报时，应提供详细信息，如培训机构名称、地址、联系方式、服务内容、收费金额及不开票的具体情况等，以便税务机关及时调查处理。
寻求消费者协会或其他监管部门的帮助：
- 消费者还可以向当地的消费者协会投诉，请求介入调查和调解。消费者协会作为保护消费者权益的机构，会积极为消费者维权。
- 必要时，消费者可咨询或聘请律师，通过法律途径维护自身权益。律师可以提供专业的法律意见和帮助，确保消费者的问题得到妥善解决。
综上所述，培训机构不开发票的行为不仅违法，而且对消费者和培训机构自身都带来严重的风险。消费者应依法维权，要求培训机构开具发票；培训机构也应加强合规管理，确保合法经营，避免不必要的法律风险。