交了培训费但不开发票，这种行为是违法的。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据与义务
根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条的明确规定，任何销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务并收取款项时，都有义务向付款方开具发票。培训机构作为提供培训服务的单位，在收取培训费用后，必须依法向学员或其家长开具发票。
二、不开发票的违法性与后果
违反法律法规：培训机构不开发票的行为直接违反了《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，属于违法行为。
税务风险：不开发票还可能涉嫌偷逃税款，违反了《中华人民共和国税收征收管理法》等相关法律法规。发票是税务机关进行税收征管的关键依据，培训机构通过不开发票隐瞒实际收入，从而少缴税款，将面临严重的税务风险。根据《中华人民共和国发票管理办法》第三十五条的规定，对于应当开具而未开具发票的行为，税务机关有权责令改正，并可处以1万元以下的罚款；有违法所得的，还将予以没收。
损害消费者权益：发票不仅是交易双方合法交易的凭证，更是消费者维护自身权益的重要依据。若培训机构不开具发票，一旦后续出现培训质量不达标、退费纠纷等问题，消费者在寻求法律救济时将因缺乏有效证据而处于不利地位。同时，没有发票还可能影响消费者的报销需求，进一步损害其合法权益。
三、消费者应对措施
与培训机构沟通协商：首先，尝试与培训机构进行友好沟通，明确指出开具发票是你的合法权益，也是他们应尽的法律义务。你可以通过书面或口头形式表达诉求，并要求其及时开具正规发票。在沟通过程中，务必保留好聊天记录、通话录音等证据，以备后续使用。
向税务部门投诉或举报：如果与培训机构沟通无果，你可以拨打12366纳税服务热线向当地税务部门进行投诉或举报。在投诉时，你需要准备好缴费凭证（如转账记录、收据等）和培训服务相关证明（如培训合同、课程表、上课记录等），以证明你已向培训机构支付了费用并接受了其服务。税务部门在接到投诉后，会对培训机构进行调查核实，并根据情况责令其限期改正和处以罚款，同时督促其为你开具发票。
向消费者权益保护机构投诉：除了向税务部门投诉外，你还可以向相关的消费者权益保护机构进行投诉。说明具体情况，并附上你已经尝试与培训机构沟通但无果的证据。消费者权益保护机构会依法对你的投诉进行处理，并帮助你维护合法权益。
提起法律诉讼：如果你与培训机构之间签订了合同，并且合同中明确规定了他们需要提供发票，那么当培训机构拒绝开具发票时，你还可以根据合同条款向法院提起诉讼。要求培训机构履行合同义务，并赔偿因此给你造成的损失。在提起诉讼前，请确保你已经保存了所有与培训机构的交流记录、付款凭证以及任何可能证明你已经接受了他们服务的证据。这些证据在法庭上将是支持你的主张的关键依据。
总结：交了培训费但不开发票是违法的行为，不仅违反了相关法律法规，还损害了消费者的合法权益。因此，建议消费者在接受培训服务时一定要索取发票，并在遇到问题时及时采取法律手段维护自己的权益。