您遇到的核心问题是培训机构既不开发票，又拒绝退费，这涉及税务合规和合同违约两个法律层面的问题，您可以通过以下途径解决：
- 针对不开发票问题
根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或收取费用的单位和个人，必须向付款方开具发票。培训机构拒绝开具发票属于违法行为，您可采取以下措施：
- 向税务机关举报：拨打12366纳税服务热线或通过当地税务局官网举报，税务机关将依法对机构进行处罚（如罚款、责令补开发票等），并可能协调您取得发票。
- 保留付款凭证：保存转账记录、收据、合同等证据，作为后续维权依据。若机构未开具发票，您仍有权要求其补开；若机构拒不配合，税务机关的处罚记录可作为您主张权益的辅助证据。
- 针对拒绝退费问题
需分情况讨论合同效力及退费规则：
- 若合同明确约定退费条件（如未上课可全额退费、因机构原因无法履约需退费等）：机构拒绝退费构成违约，您可依据《民法典》第五百七十七条，要求机构继续履行退费义务或赔偿损失。
- 若合同未约定退费规则或约定不明：根据《民法典》第四百九十六条，若格式条款（如机构提供的合同）未合理提示退费条款，您可主张该条款不成为合同内容；或依据《消费者权益保护法》第二十六条，要求机构退还合理费用（如扣除已上课时费后的剩余费用）。
- 若机构存在根本违约（如未取得办学资质、擅自变更教学内容等）：您可依据《民法典》第五百六十三条解除合同，并要求全额退费及赔偿损失。
- 综合维权步骤建议
- 协商沟通：首先与机构协商，明确要求开具发票并退费，保留书面沟通记录（如微信、邮件）。
- 投诉举报：若协商无果，向当地教育部门（如教育局民办教育科）投诉机构违规办学，同时向市场监管部门（如12315）投诉消费欺诈或合同违约。
- 法律诉讼：若上述途径未解决，可向法院起诉，主张机构开具发票、退费及赔偿损失。诉讼需准备合同、付款凭证、沟通记录等证据，建议委托律师协助处理。
提示：若机构同时存在不开发票和拒绝退费行为，您可在投诉或起诉时一并主张两项权益，提高维权效率。如有进一步疑问或需具体操作指导，可直接向我咨询。