结论：没有和学员开发票签合同，即使学员没有主动索取发票，这种行为仍然可能违法，具体涉及税务和合同两个方面的法律问题。以下从这两个角度进行详细分析：
税务角度
发票开具的法定义务：
- 根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。这意味着，无论学员是否主动索取发票，作为提供服务的一方，你都有义务开具发票。
未开具发票的法律后果：
- 如果未按照规定开具发票，根据《中华人民共和国发票管理办法》第三十五条，由税务机关责令改正，可以处1万元以下的罚款；有违法所得的予以没收。因此，未开具发票可能面临税务机关的处罚。
税务合规建议：
- 为了避免税务风险，建议尽快与学员补开发票，并确保今后在提供服务时及时开具发票，以符合税务法规的要求。
合同角度
合同签订的法定义务与重要性：
- 虽然《中华人民共和国民法典》并未明确规定所有服务提供都必须签订书面合同，但签订书面合同是明确双方权利义务、避免纠纷的重要方式。未签订合同可能导致在服务内容、费用、期限等方面产生争议时，难以维护自身权益。
未签订合同的法律风险：
- 在未签订合同的情况下，如果学员对服务内容、费用等提出异议，或者拒绝支付费用，你可能难以通过法律途径有效维护自己的权益。因为缺乏书面证据，法院或仲裁机构在裁决时可能难以确定双方的真实意思表示和权利义务。
合同合规建议：
- 建议尽快与学员补签合同，明确服务内容、费用、期限等关键条款。同时，在今后的业务中，务必在提供服务前与学员签订书面合同，以降低法律风险。
综合建议：为了避免税务和合同方面的法律风险，建议你尽快与学员补开发票和补签合同。如果学员不配合或者存在其他纠纷，你可以考虑通过法律途径解决，但在此之前，务必确保自己的行为符合税务和合同法规的要求。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。