培训机构不提供发票是违法行为。这一结论基于我国相关的法律法规，下面我将从法律依据、违法后果以及消费者维权途径三个方面为您详细阐述。

一、法律依据

根据《中华人民共和国发票管理办法》以及《中华人民共和国税收征收管理法》的相关规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，有义务向付款方开具发票。这是收款方的法定义务，也是保障消费者权益、维护税收秩序的重要措施。培训机构作为提供服务的单位，在收取学员或家长的培训费用后，必须开具相应的发票。

二、违法后果

1. 对培训机构而言：

   • 拒开发票的行为违反了税收征管规定，可能涉嫌偷逃税款，面临税务机关的处罚，包括补缴税款、加收滞纳金以及罚款等。
   • 损害了机构的信誉和形象，可能影响其招生和经营。

2. 对消费者而言：

   • 难以证明消费事实，增加后续维权难度。
   • 无法作为财务报销的凭证，可能需要自行承担费用。

三、消费者维权途径

面对培训机构拒开发票的情况，消费者可以采取以下措施维护自身权益：

1. 与机构协商：

   • 首先尝试与培训机构进行友好沟通，明确要求其依法开具发票，并告知相关的法律规定。
   • 保留好相关证据，如培训合同、付款记录、沟通记录等，以备后续可能的维权需要。

2. 向税务机关举报：

   • 如果协商无果，消费者可以向当地税务机关进行举报。可以拨打税务热线12366或前往办税服务厅进行实名或匿名举报。
   • 提供详细信息，如培训机构名称、地址、联系方式、服务内容、收费金额及不开票的具体情况，以便税务机关及时调查处理。

3. 寻求其他帮助：

   • 向当地的消费者协会投诉，请求介入调查和调解。
   • 必要时，可咨询或聘请律师，通过法律途径维护自身权益。

综上所述，培训机构不提供发票是违法行为，不仅损害了消费者的合法权益，也可能对培训机构自身带来严重的法律后果。因此，消费者应依法维权，要求培训机构开具发票；同时，培训机构也应加强合规管理，确保合法经营。