您好，关于您提出的美容院没有给发票是否算违法的问题，我可以明确地告诉您，美容院在提供服务后不开具发票的行为是违法的。

首先，我们来看看相关的法律依据。根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条的规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方有义务向付款方开具发票。这意味着，在您接受美容服务并支付费用后，美容院作为提供服务的经营主体，无论您是否主动索要，都必须按照法律规定为您开具与实际交易相符的发票。

发票的重要性不言而喻。它不仅是交易的凭证，证明了您与美容院之间的交易关系，还是您维权的重要依据。如果发生消费纠纷，发票可以作为证据支持您的诉求。同时，发票也是税务部门监管商家、防止偷税漏税的重要手段。

如果美容院拒绝开具发票，将可能面临税务机关的处罚，包括责令改正、处以1万元以下的罚款以及没收违法所得等。此外，这种行为还会损害美容院的商业信誉，影响其长期经营。

作为消费者，您有权要求美容院开具发票。如果遇到拒开发票的情况，您可以向当地税务部门进行举报，税务机关会依法对美容院进行处理。为了保障自己的合法权益，我建议您在选择美容院时，尽量选择正规、有信誉的机构进行消费。

综上所述，美容院在提供服务后必须开具发票，这是其法定义务。您应了解自己的权利，积极索要发票，并在遇到拒开发票的情况时采取适当的措施维护自己的合法权益。希望这些解答能对您有所帮助。