您好，针对您提出的“做了医美项目没给开发票是否违法”的问题，我可以明确地告诉您，医美机构不开发票是违法的。这一结论主要基于以下法律依据和法律后果的分析：
法律依据
《中华人民共和国发票管理办法》：该法规明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，应向付款方开具发票。医美机构作为提供医疗美容服务的单位，在收取您的费用时，有明确的法律义务向您开具发票。
《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十一条：此条款强调，经营者提供商品或者服务时，应按照国家有关规定或商业惯例向消费者出具购货凭证或服务单据。这进一步明确了医美机构在提供服务后开具发票的法律责任。
法律后果
税务处罚：如果医美机构未按规定开具发票，税务机关有权责令其限期改正，没收违法所得，并可处以罚款。此外，医美机构还可能面临补缴税款等行政责任。
消费者维权难题：发票是消费者维权的重要依据。若医美机构不开具发票，您在后续出现消费纠纷或需要进行费用报销时，将缺乏有效凭证，这无疑会增加您的维权难度。
刑事责任：在极端情况下，如果医美机构存在虚开发票的行为，还可能触犯《中华人民共和国刑法》中关于虚开发票罪的规定，面临有期徒刑、拘役、罚金等刑事处罚。
针对您情况的特别说明
即使医美机构在后续答应提供费用清单，这并不能改变其之前未按规定及时提供发票的事实。这种行为仍然对您的权益造成了一定的侵害，因为您在消费当时并未能及时了解到服务的详细费用情况，也无法获得正规的发票作为维权依据。
消费者应对措施
明确要求开具发票：在接受医美服务时，您应明确要求医美机构开具发票，并妥善保管。这是维护自身权益的重要步骤。
投诉与举报：如果医美机构拒绝开具发票或拖延提供，您可以向相关税务部门或消费者权益保护机构进行投诉与举报，以维护自己的合法权益。
法律途径维权：在必要时，您还可以通过法律途径维权，如向法院提起诉讼，要求医美机构承担相应的法律责任。
综上所述，医美机构不开发票是违法的，且后果严重。您应充分了解相关法律法规，坚持要求医美机构开具发票，以确保自身权益得到有效保障。希望这些解答能对您有所帮助。