美容机构不给客户开发票是违法的。以下从不同角度进行分析：

1. 从税收征管角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。美容机构作为经营主体，在收取客户费用后拒开发票，属于未按规定开具发票的违法行为，税务机关可依据《发票管理办法》第三十五条责令改正，并处1万元以下罚款；若存在偷逃税款行为，还将面临补缴税款、滞纳金及罚款的处罚。

2. 从消费者权益保护角度
   发票是消费者维权的重要凭证。根据《消费者权益保护法》第二十二条，经营者提供商品或服务，应当按照国家有关规定或商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或服务单据。美容机构拒开发票，剥夺了消费者的合法凭证，导致消费者在后续维权（如服务质量纠纷、人身损害赔偿等）时缺乏关键证据，侵害了消费者的合法权益。

3. 从合同履行角度
   客户支付费用与美容机构提供服务构成合同关系，开具发票是美容机构的附随义务。即使合同未明确约定，根据《民法典》第五百零九条，当事人应当遵循诚信原则履行合同义务，包括附随义务。拒开发票可能被认定为未全面履行合同义务，客户有权要求美容机构补开发票或承担违约责任。

建议行动：

• 消费者可向美容机构明确要求开具发票，若遭拒绝，可向当地税务机关举报（拨打12366纳税服务热线）或向市场监管部门投诉。
  
• 若因未开发票导致维权困难（如无法证明消费关系），可收集付款记录、服务协议、沟通记录等证据，通过法律途径主张权利。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程或证据固定方法。