医美机构拒绝开具发票是违法的。这一结论基于明确的法律依据和具体的法律后果分析，以下为您详细阐述：

法律依据

1. 《中华人民共和国发票管理办法》：该法规明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方有义务向付款方开具发票。医美机构作为提供医疗美容服务的单位，在收取消费者费用时，必须按照法律规定开具发票。

2. 《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十一条：此条款进一步强调，经营者提供商品或者服务时，应按照国家有关规定或商业惯例向消费者出具购货凭证或服务单据。这同样适用于医美机构，它们有义务向消费者提供发票作为服务单据。

法律后果

1. 税务处罚：如果医美机构拒绝开具发票，税务机关有权责令其限期改正，并可能没收违法所得，同时处以罚款。此外，医美机构还可能面临补缴税款等行政责任。

2. 消费者维权难题：发票是消费者维权的重要依据。若医美机构不开具发票，消费者在后续出现消费纠纷或需要进行费用报销时，将缺乏有效凭证，从而增加维权难度。

3. 刑事责任风险：在极端情况下，如果医美机构存在虚开发票的行为，还可能触犯《中华人民共和国刑法》中关于虚开发票罪的规定，面临有期徒刑、拘役、罚金等刑事处罚。

消费者应对措施

1. 明确要求开具发票：在接受医美服务时，消费者应主动要求医美机构开具发票，并妥善保管好发票，以备不时之需。

2. 投诉与举报：如果医美机构拒绝开具发票，消费者可以向当地税务部门或消费者权益保护机构进行投诉与举报，以维护自己的合法权益。

3. 法律途径维权：在必要时，消费者还可以通过法律途径维权，如向法院提起诉讼，要求医美机构承担相应的法律责任。

总结与建议：医美机构拒绝开具发票是违法的，且后果严重。作为消费者，您应充分了解相关法律法规，坚持要求医美机构开具发票，以确保自身权益得到有效保障。同时，选择正规、有信誉的医美机构进行消费也是预防此类问题的重要方法。