结论：劳动合同到期未续签，暑假继续工作两个月后终止合同，主要有协商一致终止和用人单位或劳动者单方终止这两种情况，以下为你详细介绍：
协商一致终止
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十六条规定，用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这意味着，只要双方就终止劳动合同达成一致意见，无论基于何种原因，都可以终止合同。
- 操作方式：在这种情况下，用人单位和劳动者应当就终止劳动合同的相关事宜进行充分沟通和协商，包括终止时间、工资结算、经济补偿等。双方达成一致后，可以签订书面的终止劳动合同协议，明确双方的权利和义务，以避免后续可能出现的纠纷。
- 经济补偿：如果是因为用人单位的原因导致劳动合同到期未续签，且双方协商一致终止合同，用人单位一般需要按照劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。但如果终止合同是劳动者主动提出的，用人单位可能无需支付经济补偿，具体要看双方的协商结果。
用人单位或劳动者单方终止
用人单位单方终止
- 合法情形及操作：如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，用人单位可以单方终止劳动合同，且无需支付经济补偿。用人单位在行使这一权利时，需要有充分的证据证明劳动者存在上述过错行为，并按照法定程序进行处理，如通知工会（如有）、向劳动者说明理由等。
- 违法情形及后果：如果用人单位在没有合法理由的情况下单方终止劳动合同，属于违法解除，需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
劳动者单方终止
- 合法情形及操作：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条规定，如果用人单位存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等情形，劳动者可以单方终止劳动合同。劳动者在行使这一权利时，应当提前通知用人单位（在用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动等紧急情况下除外），并保留好相关证据，如工资条、社保缴纳记录等，以证明用人单位存在过错。
- 经济补偿：在这种情况下，用人单位需要向劳动者支付经济补偿，计算方式与协商一致终止合同中因用人单位原因导致的情况相同。
建议：在终止劳动合同的过程中，无论是用人单位还是劳动者，都应当注意保留相关的证据，如劳动合同、工资支付记录、工作交接单等，以证明自己的主张。如果双方在终止合同过程中发生纠纷，可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径解决。如果你在处理这个问题过程中还有其他疑问，欢迎随时向我咨询。