关于第三次签订无固定期限劳动合同后的赔付问题，这主要取决于用人单位的行为是否合法以及劳动合同终止的具体情形。以下是从不同角度进行的详细分析：
用人单位合法终止劳动合同的情况：
- 如果用人单位在第三次签订无固定期限劳动合同时，与劳动者协商一致并合法终止劳动合同，或者劳动者因个人原因（如退休、辞职等）主动提出终止劳动合同，那么用人单位通常不需要支付额外的赔付。但在此情况下，若劳动合同中有约定经济补偿的，应按照约定执行。
用人单位违法终止劳动合同的情况：
- 违法不续签：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有特定过错（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），且提出续订无固定期限劳动合同的，用人单位应当续订。若用人单位拒绝续签，则构成违法终止劳动合同。
- 赔付标准：在此情况下，用人单位应当依照《劳动合同法》第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。具体计算公式为：
$\(赔偿金 = 2 \times (经济补偿)\)$
其中，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 示例：假设劳动者在用人单位工作了5年，月工资为10000元，那么经济补偿为5个月工资，即50000元。因此，赔偿金为经济补偿的两倍，即100000元。
其他可能的赔付情况：
- 实际损失赔偿：如果因用人单位的违法行为给劳动者造成了其他实际损失（如失业期间的收入损失、社保缴纳中断导致的损失等），劳动者还可以要求用人单位进行赔偿。但这一部分的赔偿需要劳动者提供充分的证据来证明损失的存在和具体数额。
法律建议：
- 协商沟通：在劳动合同到期或面临终止时，建议劳动者与用人单位进行充分沟通，了解对方的意愿和需求，尽量通过协商达成一致意见，避免不必要的法律纠纷。
- 保留证据：劳动者应妥善保留与用人单位签订的劳动合同、工资支付记录、考勤记录等相关证据，以备不时之需。这些证据在维权过程中将起到至关重要的作用。
- 及时维权：如果用人单位存在违法行为，劳动者应及时向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
总结：第三次签订无固定期限劳动合同后的赔付问题，主要取决于用人单位的行为是否合法。如果用人单位违法终止劳动合同，劳动者有权要求支付赔偿金，并可能要求赔偿其他实际损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。